Home2 arrow פיצוחים
פיצוחים
ערך המערך

מהו ערך המערך?

פעילות חקר המעודדת פתרונות שונים לפיתוח החשיבה האלגברית. מתוך החוברת פעילויות מתמטיות רבות עוצמה לתלמיד לכיתות המדעיות בפיתוח המרכז הארצי למורים למתמטיקה.

 

  

 
ערך המערך
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

מה ערך המערך?- פעילות חקר

 

האם קרה לכם, שאחרי שפתרתם בעיה או חידה והתבוננתם בה שוב, גיליתם עוד ועוד דרכים לפתור אותה, חלקן פשוטות בהרבה מזו הראשונה?

הפעילות שלפניכם, מתחילה כחידה שניתן לפתור בדרכים מגוונות. מגוון הפתרונות והשאלות שבהמשך מאפשרים להתבונן על פעולות מתמטיות מוכרות באור חדש.

הפעילות פשוטה אך היא עוסקת באחד מהרעיונות המרכזיים של המתמטיקה.


1. גלו את המספר שבמשבצת הריקה

לפניכם מערך משבצות צבעוני:

http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no1.PNG
א. מיהו לדעתכם המספר החסר? הסבירו את שיקוליכם.
ב.
נסו לגלות את המספר החסר בכמה שיותר דרכים.
 

2. האם יש רמזים עודפים?

א. הניחו שלכל המשבצות הצבועות באותו מילוי יש אותו ערך. האם תוכלו לגלות את המספר החסר מבלי להשתמש בכל המספרים הרשומים בשולי המערך?    
ב. נסו לגלות את המספר החסר בכמה שיותר דרכים.
ג.אם כן – נסו להשאיר מספר מינימלי של מספרים שמאפשר לגלות את המספר החסר.

http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no2.PNG
 
3. בדרך שלהם

אור אמרה: אני ראיתי שסכום המספרים בשתי השורות התחתונות הוא 22 והבנתי שסכום המספרים בעמודה הימנית הוא 11. למה אור מתכוונת, לדעתכם?

נועם אמר: אני הסתכלתי בשתי השורות האמצעיות והגעתי למסקנה שהערך של משבצת כחולה גדול ב- 3 מהערך של משבצת צהובה. אחר כך הסתכלתי בשתי העמודות הימניות והגעתי למסקנה שסכום המספרים בעמודה הימנית הוא 11. מה לדעתכם היו השיקולים של נועם?

אלון אמר: הדרך שלי דומה לשל נועם אבל אני קראתי לאדום A לכחול K ולצהוב Y. מהעמודות השמאליות למדתי ש- A=Y+1 . בשורה השנייה יש רק משבצות אדומות וצהובות ולכן יכולתי לכתוב 3Y+Y+1=5, וככה הגעתי לערכים של כל הצבעים.

המשיכו את הדרך של אלון. עינת אמרה: אני בכלל לא התייחסתי למילוי והגעתי לאותה תשובה. מה יכולה להיות הדרך של עינת?

 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no3.PNG


 4. האם הרמזים מספיקים?
א. לפניכם חידת מספרים חדשה.
ב. הפעם הרמזים מאפשרים למצוא רק חלק מהמספרים החסרים.
ג. אם ניתן למצוא את הערך של שורה או עמודה – מצאו בדרכים שונות.
ד. אם לדעתכם לא ניתן למצוא את ערכה של שורה או של עמודה – הסבירו מדוע לא ניתן לעשות זאת.
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no4.PNG

5. הפינה לשיפוטיכם

 לפניכם שתי הצעות למילוי מערך המספרים. (המספרים שהוספו בשולים רשומים באדום)
 
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no5.PNG
 כל אחד מהם בדק את החישובים של השני והם הגיעו למסקנה שאף אחד מהם לא טעה בחישוב.
א. כיצד יתכן שכל אחד הגיע לתוצאות אחרות?
ב. כיצד קרה שרוב המספרים בשוליים זהים בהצעות של שי ותמר?
 
 6. הפינה לשיפוטיכם
א. ענו בלי לפתור משוואות
המחיר של 3 כרטיסי נוער ו- 2 כרטיסי מבוגר להופעה בפארק הוא 120 ₪.
המחיר של 6 כרטיסי נוער ו- 5 כרטיסי מבוגר לאותה הופעה הוא 270 ₪.
זוג הורים רוצה להגיע להופעה עם שני ילדיהם. כמה ישלמו?

ב. לכל אחת מן המשוואות הבאות קבעו את מספר הפתרונות.

http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no6.PNG

 
 7. שומרי משקל
 
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no7.PNG
 
8. מפלצות ידידותיות – עם משוואות כאלה, מי צריך מחשבון?

א. פתרו ללא מחשבון את מערכת המשוואות

http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/value/no8.PNG
ב. נסו לחבר עוד מערכות משוואות ידידותיות עם חזות מפלצתית.

 
בואו נשחק מתמטיקה- פיצוח

בואו נשחק מתמטיקה

בחודש יוני ערכנו את גמר התחרות "בואו נשחק מתמטיקה " באירוע שיא שהתקיים במייקרוסופט חיפה.
בתחרות השתתפו תלמידים רבים מעשרות בתי ספר. ריכזנו לכם את המשחקים שעלו לגמר וזכו בפרסים.

  

 
בואו נשחק מתמטיקה- פיצוח

בואו נשחק מתמטיקה

בחודש יוני ערכנו את גמר התחרות "בואו נשחק מתמטיקה" באירוע שיא שהתקיים במייקרוסופט חיפה.
בתחרות השתתפו תלמידים רבים מעשרות בתי ספר. ריכזנו לכם את המשחקים שעלו לגמר וזכו בפרסים.

 

  

 
לרבע את הירח

לרבע את הירח

בפיצוח מוצגות בעיות של "ריבוע הירח", צורות מעגליות ובניית ריבוע בסרגל ומחוגה בעל שטח השווה לשטחן. בעיות אלו נגזרו מהבעיה שהעסיקה מתמטיקאים רבים לאורך ההיסטוריה– כיצד ניתן "לרבע מעגל"? הפיצוח מלווה ביישומים דינאמיים.

 

  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/moon/pic6.PNG

 
 


תגים:  גיאומטריה שטח בנייה בסרגל ומחוגה לרבע מעגל הסטוריה
 
לרבע את הירח
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

לרבע את הירח

 
אחת הבעיות שהעסיקו את המתמטיקאים מאות בשנים, היתה כיצד ניתן "לרבע" את המעגל, כלומר כיצד ניתן לבנות בעזרת סרגל ומחוגה ריבוע ששטחו כשטח מעגל נתון. בניסיונתיהם הרבים, ניסו גם לרבע צורות מעגליות כגון סהרונים.
 "סהרון" היא צורה החסומה על ידי שתי קשתות מעגליות, בדומה לירח.  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/moon/pic1.PNG
 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/moon/pic2.PNG

  • 1. לרבע את הסהרון של היפוקרטס
היפוקרטס סרטט את הסהרון באיור הבא בעזרת שני חצאי מעגלים.

א. עקבו ביישומון אחר שלבי הבנייה ותארו במילים כיצד בנה היפוקרטס את הסהרון. רשמו את הנתונים באופן מתמטי.
ב. הראו כי שטח המעגל הקטן שווה לחצי משטח המעגל הגדול. ג. מה היחס בין שטח של הסהרון ושטח המשולש ? חשבו את שטח הסהרון בעזרת חיבור וחיסור שטחים.
ד. בנו ריבוע ששטחו כשטח הסהרון.

 

http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/moon/pic3.PNG

2. לרבע את המעגל- האמנם?

היפוקרטוס טען כי "הוכיח" שניתן לרבע את המעגל, (לבנות ריבוע ששטחו שווה לשטח המעגל) למרות שכיום ידוע שלא ניתן לעשות זאת. במה טעה היפוקרטס?
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/moon/pic4.PNG  

א. הראו כי : שטח ששת הסהרונים - שטח המשושה = שטח המעגל הקטן
היעזרו בחיבור וחיסור שטחים.
ב. משושה, בהיותו מצולע, ניתן לרבע, כלומר לבנות ריבוע בעל שטח שווה. היפורקטס הראה שניתן לרבע סהרונים.
מכאן ניתן להסיק שניתן לרבע את המעגל... האמנם? במה טעה היפורקטס?

 
3. לרבע את האלכסונים של אלחאסן
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/moon/pic5.PNG
 אלחאסן סרטט את שני סהרונים באיור הבא בעזרת שלושה חצאי מעגלים.

א. עקבו ביישומון אחר שלבי הבנייה ותארו במילים כיצד בנה את הסהרונים.
רשמו את הנתונים באופן מתמטי.
ב. מה היחס בין שטח של שני הסהרונים ושטח המשולש ?
ג. בנו ריבוע ששטחו כשטח שני הסהרונים.
 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/moon/pic6.PNG

מקורות נוספים:

מי הפך את הירח לריבוע? – עטרה שריקי, קשר ח"ם
היהפוך עיגול לריבוע – שווה 6, מטח
מצגת "לרבע את המעגל", רקע היסטורי ומתמטי. (באנגלית)

                  
           

 
על מתמטיקה ודמוקרטיה

על מתמטיקה ודמוקרטיה   http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

 

 

בפיצוח זה שתי בעיות העוסקות בהכרעות רוב.

הפיצוח כולל הפניות לפעילויות ורשימות קריאה בנושא דמוקרטיה ובחירות והשימוש במתמטיקה. 

 
 

 
על מתמטיקה ודמוקרטיה
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים 
 תקציר  | על מתמטיקה ודמוקרטיה
פתרונות
על מתמטיקה ודמוקרטיה
 
 1. החלטה גורלית
 
בית ספר "עלומים" נקלע לקשיים כלכליים, וההנהלה נאלצה להודיע על קיצוצים בתקציב.
מועצת התלמידים המודאגת התגייסה כדי לסייע להחלץ מהמשבר, וכינסה את כל תלמידי השכבה הבוגרת לישיבת חירום
והציעה שלוש הצעות:
    א.    לוותר על תקציב מסיבת סוף השנה ולגייס כספים באירוע התרמה לשכבה הצעירה.
    ב.    קיצור הטיול השנתי  ביום ובמקומו לצאת ליום עבודה בחקלאות כתרומה לבית הספר.
    ג.    צמצום שירותי הנקיון בבית הספר ויצירת תורנות ניקיון של התלמידים.
לקראת ההצבעה, לאחר דיון סוער, יודעים כל המשתתפים בדיון את סדרי העדיפות של חבריהם.
יושב ראש מועצת התלמידים מתאר את התמונה הבאה:
- מרבית החברים מעדיפים את הצעה א על הצעה ב
- מרבית החברים מעדיפים את הצעה ב על הצעה ג
- מרבית החברים מעדיפים את הצעה ג על הצעה א.
האם מצב זה ייתכן? הסבירו.
 
 2. בחירות למועצת תלמידים


בבית הספר "עלומים" מקיימים כל שנה בחירות למועצת התלמידים. על פי חוקי בית הספר כל תלמיד יכול להציע את מועמדותו למועצת התלמידים. כל תלמיד שם בקלפי פתק עם שם אחד.
אם יש תלמיד שזכה ב- 40% מהקולות הכשרים או יותר , אז התלמיד שזכה במספר הקולות הגדול ביותר נבחר לראשות מועצת התלמידים.
אם אף אחד מהתלמידים לא זכה ב- 40% מהקולות הכשרים או יותר נערך סיבוב שני בו מתמודדים שני המועמדים שזכו במירב הקולות.
אלה מתן וגל מציגים את מועמדותם לראשות מועצת התלמידים.
    א.    כמה אפשרויות לסדר עדיפות בין המועמדים קיימות?
 
    ב.   לאחר חודש של תעמולת בחירות יודע כל אחד מתלמידי בית הספר את סדרי העדיפויות של כל אחד מחבריו:

96 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות:  אלה  >  מתן  >  גל
110 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: מתן   >  גל    >  אלה
95 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: גל     >  אלה >  מתן
20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: אלה  >  גל    >  מתן
20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: מתן  >  אלה  >  גל
20 תלמידים מחזיקים בסדר העדיפויות: גל    > מתן    >  אלה

אם כל אחד יצביע על פי העדפותיו:
    1.    האם יהיה סיבוב בחירות שני?
    2.    מי יהיה ראש מועצת התלמידים?

    3.    המועמד מתן צופה את תוצאות הבחירות מראש. הוא וחברתו נועה מחליטים להצביע בעד גל (במקום בעד מתן).
           האם החלטתם יכולה להשפיע על תוצאות הבחירות? הסבירו.
 

קישורים נוספים:

דמוקרטיה מנקודת המבט של מתמטיקה – חומר לעבודות מחקר – ד"ר פיטר סמובול
על שיטות בחירה שונות ופרדוקסים של בחירות.

מתמטיקה של בחירות – אוסף פעילויות בתורת המשחקים, מאת "מצויינות 2000".

דמוקרטיה במספרים – שיעור באזרחות מאת מט"ח. עיבוד ניתוח של סקר המוצג בתמונות, אינפוגרפיקה. שימוש בתוכנת  Thinglink המאפשרת הוספת "נקודות חמות" על גבי תמונות.

מקימים קואליציה (סימולציה) - הצעה לפעילות בכיתה בנושא הקמת הקואליציה בישראל בעקבות תוצאות הבחירות לכנסת ה-19. הפעילות מתבססת על סימולציה המבוססת על קובץ אקסל.

בחירות רבותי בחירות – מכון דוידסון - בסדרת הכתבות נדבר על סקרי הבחירות, על ההסכמים שיוצר אחוז החסימה, על הקשר של הבחירות לתורת המשחקים ועוד.

המתמטיקה של הדמוקרטיה – מאמר דיעה מתוך הבלוג – למה ללמוד מתמטיקה

 
לקפל פרבולה

לקפל פרבולה  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/12.png

פעילות שבה ניצור פרבולה מקיפולי נייר, נחקור את השתנותה וננסה להבין מה המשמעויות הנלוות לכך.

 


  http://highmath.haifa.ac.il/images/%D7%9C%D7%A7%D7%A4%D7%9C%20%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94%206.gif

 
 

 
דלתוני ריצוף

דלתוני ריצוף  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

בפיצוח זה נפגוש דלתונים מיוחדים, דלתוני הריצוף, המאפשרים לרצף את המישור באופנים שונים, חלקם מרהיבים ביופיים. בפיצוח חקירה של נושא הריצוף, צורות דומות ויחס השטחים שלהן. הפעילות מזמינה יצירתיות והערכת היופי שבמתמטיקה. הפיצוח מלווה בהנחיות לפעילות ופתרון.

תגובות (2)

http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no5.png

 
 

 
דלתוני ריצוף

דלתוני ריצוף   http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

בפיצוח זה נפגוש דלתונים מיוחדים, דלתוני הריצוף, המאפשרים לרצף את המישור באופנים שונים, חלקם מרהיבים ביופיים. בפיצוח חקירה של נושא הריצוף, צורות דומות ויחס השטחים שלהן. הפעילות מזמינה יצירתיות והערכת היופי שבמתמטיקה. הפיצוח מלווה בהנחיות לפעילות ופתרון.

 

http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no5.png

 
 


תגים:  גיאומטריה דלתון ריצופים יחס שטחים דמיון
 
דלתוני ריצוף
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

דלתוני ריצוף

 

1. פירוק והרכבה של משולש שווה צלעות

לפניכם משולש שווה צלעות. כידוע גובה במשולש שווה-צלעות מחלק אותו לשני משולשים חופפים. (מדוע?) גזרו משולש שווה צלעות והרכיבו מחדש את שני המשולשים על ידי הצמדת שני קדקודים של משולש אחד לשני קדקודים של המשולש השני.

כמה מצולעים שונים תוכלו להרכיב בדרך זו?

 

 
http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no1.png

  • 2. דלתון הריצוף:
  • אחת הצורות שניתן ליצור באמצעות הצמדת המשולשים היא דלתון.

דלתונים מיוחדים אלה נקראים דלתוני-ריצוף בגלל האפשרות ליצור בעזרתם ריצופים של צורות גאומטריות רבות ואף של המישור כולו. 

http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no2.png

א. מהן התכונות המיוחדות של דלתונים אלה?
  1. מהן מידות הזוויות של דלתוני-ריצוף?  
  2. מצאו קשרים בין אורכי האלכסונים של הדלתון לבין אורכי צלעותיו?
ב. גזרו מדפי הגזירה מספר דלתונים ונסו להרכיב באמצעותם מצולעים שונים, כך שדלתוני הריצוף נצמדים לאורך צלע שלמה.  
  1. אילו מהצורות הבאות ניתן להרכיב משולש, מרובע, מחומש, משושה?
  2. אילו מצולעים משוכללים הצלחתם לבנות? הסבירו כיצד. נסו להרכיב את המצולעים ביותר מאשר דרך אחת.
ג. הציעו דרכים שונות לרצף משטח בעזרת דלתוני הריצוף.


3. משושים:

בית הספר חופים יש חצרות פנימיות בצורת משושה. במסגרת פרוייקט לשיפור פני בית הספר עלתה הצעה ליצור משטחים משושים באמצעות אריחי קרמיקה בצורת דלתוני ריצוף. 


בקטלוג הגלריה לאריחים מצאו את הדגם שבתמונה וניסו לברר:

http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no3.png
  

א. פי כמה גדול היקף המשושה החיצוני מהיקף המשושה הפנימי? פי כמה גדול השטח?
ב. האם ניתן לבנות את ריצוף הקרמיקה באמצעות אריחים בשני צבעים בלבד, מבלי שלאריחים באותו צבע תהיה צלע משותפת?
ג. האם ניתן לבנות את ריצוף הקרמיקה באמצעות אריחים בשלושה צבעים בלבד מבלי שלאריחים באותו צבע תהיה צלע משותפת?
ד. האם ניתן להמשיך את הריצוף ולקבל משושה עוד יותר גדול הבנוי מאותם האריחים? לכמה אריחים נוספים תזדקקו?

 
4. ריצוף באריחים בשני גדלים:

לפניכם שני אריחים לריצוף. שני דלתוני ריצוף כך שהצלע הקצרה בדלתון הגדול שווה באורכה לצלע הארוכה בדלתון הקטן.

א. מה יחס ההיקפים בין שני הדלתונים? מהו יחס השטחים?
ב. הצמידו את שני אריחי הדלתונים זה לזה. איזה מרובע התקבל? תארו תכונותיו.
ג. נסו להרכיב מצולעים שונים מדלתוני ריצוף אלו.
ד. האם ניתן לבנות דלתון ריצוף דומה גדול יותר המורכב משני אריחים אלו?

 
http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no4.png

5. ריצוף באריחים בגודל משתנה:

תלמידי מגמת האמנות רוצים ליצור עיטור מיוחד לקיר מבנה המגמה בעזרת דלתוני ריצוף. בהצעה ניתן להשתמש בגדלים שונים של דלתוני ריצוף. התקבלו שתי הצעות: הקבוצה של חן הציעה לבנות עיטור של פרח, והקבוצה של נוי הציעה לבנות עיטור משושה.

                   http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no5.png           http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no6.png

תוכלו להיעזר בדפי הגזירה

א.תארו את בניית הריצוף בכל אחת מההצעות.
ב. תכננו (בשרטוט או במילים) כיצד ניתן להוסיף שכבה נוספת לכל אחד מהעיטורים. לכמה דלתונים תזדקקו להוספת שכבה?
ג. בעת שקילת ההצעה יש לבדוק בכל אחד מהעיטורים:
  1. האם קיים יחס קבוע בין היקפי השכבות ?
  2. מה היחס בין שטח האריחים הסגולים לבין שטח האריחים הצבועים בתכלת ?
  3. האם נוכל להגדיל את העיטור על ידי הוספת שכבות של דלתוני ריצוף?
  4. האם נוכל להוסיף שכבות נוספות של דלתוני ריצוף גם כלפי פנים?
  5. האם נוכל באופן זה למלא את כל השטח הלא מרוצף?
  6. האם ניתן למלא את כל השטח הפנימי בדלתוני ריצוף בדרך אחרת?


קישורים:

דלתוני ריצוף בויקיפדיה
עוד ריצופי דלתונים בבלוג math humbre
היצירה Fractal Tessellation of Spirals של האמן Robert Fathauer מבוססת על דלתוני ריצוף
יישומונים בגאוגברה בעזרתם ניתן ליצור דוגמאות ריצוף מרהיבות מדלתונים שונים, לאו דוקא דלתוני ריצוף.
אתר שכולו מוקדש לריצופים שונים ובו אנימציות מרהיבות.

 

   
http://highmath.haifa.ac.il/data/applets/no7.jpg
 
לקפל פרבולה

לקפל פרבולה  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/12.png

פעילות שבה ניצור פרבולה מקיפולי נייר, נחקור את השתנותה וננסה להבין מה המשמעויות הנלוות לכך.

 


  http://highmath.haifa.ac.il/images/%D7%9C%D7%A7%D7%A4%D7%9C%20%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94%206.gif

 
 


תגים:  פרבולה מקום גיאומטרי משיק לפרבולה גיאומטריה אנליטית
 
לקפל פרבולה
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

פתרונות

לקפל פרבולה

 
   
הגדרה גיאומטרית:
פרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה (המוקד) וישר קבוע (המדריך) שווה.
 

1. בעזרת קיפולים של דף נייר ונקודה אחת עליו נוכל ליצור באורח פלא פרבולה.
ללא סרגל, מחוגה או כל כלי מדידה...

על דף נייר:

-  סמנו נקודה C בקרבת אחת משפות הדף.
-  סמנו נקודה D על שפת הדף אליה התייחסתם קודם.
-  קפלו את הדף כך שהנקודה C תתלכד עם הנקודה D.
-  פתחו את הקפל וסמנו נקודה D אחרת על שפת הדף.
-  שוב קפלו את הדף כך שהנקודה C תתלכד עם הנקודה שסימנתם על שפת הדף.
-  חיזרו על התהליך עוד מספר פעמים.כדי לראות את התמונה שיוצרים הקפלים באופן ברור מומלץ לעבור עליהם בעזרת עפרון וסרגל.

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/%D7%9C%D7%A7%D7%A4%D7%9C%20%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94%201.png
 
 מה קיבלתם?
  • - השוו את הנייר המקופל שלכם עם זה של חברכם. תארו את הדומה ואת השונה.
  • - קחו נייר נוסף, סמנו נקודה בתוכו במקום שונה וחזרו על התהליך. מה קיבלתם הפעם?
   

שאלות למחשבה:

א. ראינו כי הקיפולים יוצרים את המתאר של הפרבולה. מהם לדעתכם המוקד והמדריך ?
ב. מה ניתן לומר על היחס הגיאומטרי בין הנקודות C,D וישר הקיפול ?
ג. מה ניתן לומר על ישר הקיפול ביחס לפרבולה ?
ד. אם נזיז את הנקודה C קרוב יותר לשפת הדף כיצד תשתנה הפרבולה? כיצד תשתנה הפרבולה אם נרחיק את הנקודה  משפת הדף?  

                                                   

 

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/%D7%9C%D7%A7%D7%A4%D7%9C%20%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94%202%20(%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%A7).jpg


 2. לשחק בקיפולים:  

בכדי להבין את הפלא ובכדי שנוכל לחקור מצבים שונים היעזרו ביישומון . (קובץ גאוגברה להורדה)

א. גררו את הנקודה D והפעילו עקבות אחר הקיפולים. מה קיבלתם? מה ניתן לומר על כל קיפול ביחס לפרבולה?
ב. בודאי שמתם לב כי הקיפול משיק לפרבולה, התוכלו לשער היכן נקודת ההשקה? כיצד נקודת ההשקה קשורה לנקודה D?
ג. צרו ביישומון פרבולות שונות על ידי שינוי מיקום הנקודה C.

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/%D7%9C%D7%A7%D7%A4%D7%9C%20%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94%206.gif

1. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C קרוב יותר לשפת הדף?
2. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C רחוק יותר משפת הדף?
3. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C על שפת הדף?
4. כיצד תשתנה הפרבולה אם נמקם את C מתחת לשפת הדף?

 
 3. כיצד נוכיח כי קיפולי הנייר יוצרים פרבולה?

 נתבונן באיור הבא המייצג את קיפולי הנייר של הפרבולה:

א. הסבירו מדוע CM=MD.
ב. הקו המקווקו מייצג את קו הקיפול. מה תוכלו לומר עליו ביחס ל- CD?
ג. נבנה אנך לישר המייצג את שפת הדף דרך הנקודה D. הסבירו מדוע CP=DP .
ד. הראו על פי ההגדרה הגיאומטרית של הפרבולה כי הנקודה P על הפרבולה. ה. ציינו מיהו המדריך ומיהי נקודת המוקד.

   
http://highmath.haifa.ac.il/images/%D7%9C%D7%A7%D7%A4%D7%9C%20%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94%204.png
 
 4. עוד משחקי פרבולה

לפניכם יישומון לבניית הפרבולה כמקום הגיאומטרי .

א. הסבירו איזו תכונה מקיימת הנקודה P ביחס לישר המדריך ולנקודת המוקד. ב. קרבו והרחיקו את נקודת המוקד מהמדריך. כיצד תשתנה הפרבולה?
ג. שנו את מיקום המדריך באופנים שונים. כיצד תשתנה הפרבולה?
ד. צרו, אם ניתן, בעזרת היישומון את הפרבולות הבאות: y^2=-x, y=x^2 , y^2=x+1 מצאו את המוקד והמדריך של כל פרבולה

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/%D7%9C%D7%A7%D7%A4%D7%9C%20%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94%205.png
 נקודה למחשבה:  
 כיצד יראה המקום הגיאומטרי אם המדריך לא יהיה ישר אלא מעגל ?  
 
 מקורות נוספים:  

 הפרבולה כצורה גיאומטרית – חמוטל בן דוד, על"ה 29

Famous Curves Index – מדור באתר The MT History of Mathematics archive ובו רשימת עקומים מפורסמים במתמטיקה עם הסבר היסטורי ומתמטי וכן יישומים דינאמיים מדגימים.

אוגדן למורה: גיאומטריה אנליטית - פעילויות ממוחשבות – מחשבמטיקה, מכון וייצמן

 
מקומות גיאומטריים אנושיים וחתוליים

מקומות גיאומטריים אנושיים וחתוליים  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/10-12.png

פעילות פתיחה להצגת הנושא של מקומות גיאומטריים באופן אינטואיטיבי וחידה מפתיעה על חתולים.

 

 
 


תגים:  מקום גיאומטרי אמצע קטע מעגל אליפסה פרבולה שיעור פתיחה יישומון דינאמי
 
מקומות גיאומטריים אנושיים וחתוליים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

מקומות גיאומטריים אנושיים

 

צאו החוצה אל החצר, רצוי ביום שמשי ונאה וגלו בהנאה מקומות גיאומטריים אנושיים. קחו עמכם גיר לשרטוט או כדור (לציון נקודה) וחבל (לציון ישר ואפשר גם למדידה) ורצוי גם מצלמה...

1. בחרו נציג מהכיתה שיעמוד במקום קבוע. הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק 1 מטר ממנו. באיזו צורה נעמדתם? הסבירו.

2. קבעו שתי נקודות במקום כלשהו. (שני כדורים או שתי אבנים) הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק שווה משתי הנקודות. באיזו צורה נעמדתם? מה מאפיין אותה ביחס לשתי הנקודות? הסבירו.

3. קבעו ישר על ידי מתיחת קו בגיר על הרצפה, או חבל. הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק 1 מטר מהישר. באיזו צורה נעמדתם? מה מאפיין אותה ביחס לישר? האם ישנן אפשרויות נוספות? הסבירו.

4. שרטטו בגיר זווית ישרה על הרצפה. (או בחרו פינה של מבנה). הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק שווה משוקי הזווית. באיזו צורה נעמדתם? מה מאפיין אותה ביחס לזווית? האם ישנן אפשרויות נוספות? הסבירו. כיצד ישתנה המקום הגיאומטרי אם הזווית תהיה חדה? הסבירו.


5. קבעו ישר על ידי מתיחת קו בגיר על הרצפה, או חבל. קבעו נקודה. הסתדרו כך, שכל אחד מכם יעמוד במרחק שווה מהישר וגם מהנקודה. באיזו צורה נעמדתם? הסבירו.  

 

 Human Loci הפעילות מעובדת על רעיון מתוך inthinking.co.il
 

 

החתול והסולם המחליק

 
סולם נשען על עץ. החתלתולה טיפסה עד לגובה חצי מהסולם ואז הוא החל להחליק עד שהשתטח. החתלתולה נאחזה בסולם ולא הרפתה. התוכלו לדמיין מה המסלול שעשתה עם תנועת הסולם?
היעזרו ביישומון.

 
 

א. מצאו את המקום הגיאומטרי המתאר את אוסף הנקודות בהן הייתה החתלתולה בשעה שהסולם החליק. הסבירו את התוצאה גם באופן גיאומטרי.

ב. אם החתולה היתה בגובה של שני שליש הסולם. מהו המקום הגיאומטרי שנוצר הפעם?
החידה מעובדת לפי Numberplay: Catbird Seat - NYTimes.com

 
מקורות נוספים:  
חפשו את המטמון – פיצוח ובו שלושה כתבי חידה בהם רמזים למציאת שלושה מטמונים בעזרת מציאת המקום הגיאומטרי. כולל מעגל אפולוניוס.
מחשבמתטיקה – פעילויות ממוחשבות (derive) בגיאומטריה אנליטית.
יישומונים דינאמיים  

אריה, תנין והקוף - אנך אמצעי כאוסף הנקודות שמרחקן שווה משתי נקודות קבועות.
היכן המרכז? - מרכזי מעגלים המשיקים לשוקי זווית – חוצה זווית. יישומון מאת מתמטיקה משולבת, וייצמן.
שאלה מבגרות - מתיחת מיתר במעגל, אליפסה ככווץ המעגל.  

 
יום מעשים טובים

יום מעשים טובים  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

בעיית חקר של בניית מרובעים בעלי שטחים שווים, המוצגת בהקשר חברתי. הפעילות בגיאומטריה בנויה באופן הדרגתי, כוללת יישום דינאמי, התומך בחקירה לאיסוף נתונים.

 

 
 


תגים:  מרובע שטח חקר בנייה בסרגל ומחוגה
 
יום מעשים טובים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

יום מעשים טובים - צל מרובעים

ביום המעשים הטובים שחל כל שנה ב-17.3. מועצת התלמידים עורכת יריד קהילתי, בו התלמידים מציעים למכירה מוצרים שונים, ונציגי הקהילה מציגים לתלמידים מגוון אפשרויות התנדבות בקהילה. מועצת התלמידים חלקה תפקידים בארגון היריד.

 

 
1. צל מרובע ביריד
 

קרן ואורי התנדבו לתכנן ציליות ליריד. הם נדרשו להקצות לכל דוכן אותו שטח של צל. הם הציעו לבנות את הצילייה באמצעים פשוטים של יריעת בד נמתחת וארבעה מוטות כמוצג באיור הבא.

קרן ואורי בנו דגם של צלייה, והצל שנוצר היה בצורת מרובע. מרובע הצל היה כללי, לא בעל כל תכונה מיוחדת.

כיצד יחשבו את הצל? קרן טענה שתוכל לחשב את שטחו, אם רק תוכל למקמו על רשת. אורי, אשר היה ידוע בתחביבו של שרטוט מפות, נעזר במרצפות, ושרטט את המרובע על רשת. משבצת אחת בשרטוט שווה ליחידת שטח.

 
 
 
א. הציעו דרכים שונות לחישוב את שטח המרובע.
ב. קרן ואורי החליטו לתכנן מרובעים שונים של צל באותו שטח. עזרו להם לתכנן במידה וניתן - ריבוע, מלבן, דלתון וכדומה באותו שטח נתון כאשר קודקודיהם על הרשת.
 

 2. צללים מרובעים
 
שחר וטל הקימו דוכן כדי למכור לימונדה מפירות הגינה שלהם.
הם הזמינו את הצילייה המוכנה הבאה בשטח של 25 יחידות שטח. אך ביום היריד נאלצו לשנות את אחד המוטות (אחד מקודקודי המרובע). מותר להם לשנות את צורת מרובע הצל אך עליהם לשמור על אותו שטח שהוקצה להם ולא לשנות את שטח המרובע. היעזרו ביישומון הבא, (להורדת קובץ גאוגברה).
הזיזו רק את הנקודה P, כך ששטח המרובע PARK ישאר אותו דבר.


 
 
א. הציעו מרובעים שונים בשטח זהה.
ב. סמנו את הנקודות P המתאימות למרובעים שמצאתם. תארו כיצד מצאתם?
ג. מה משותף לכל הנקודות האלו ? כיצד תסבירו את התופעה ?
ד. תארו שיטה בה ניתן למצוא מרובע שווה שטח למרובע נתון.
ה. האם ניתן להזיז נקודה נוספת במרובע כך שהשטח ישמר ? מהי?
 

3. ללא כל צל של ספק או רשת

 
לפניכם מרובע PARK.  
א. בנו מרובע ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK.
ב. בנו משולש ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK. (רמז – בנו מרובע שווה שטח ושנו אותו למשולש)
ג. בנו מחומש ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK.
ד. בנו מקבילית ששניים מקדקודיו מתלכדים עם קדקודים של המרובע PARK ושטחו שווה לשטח המרובע PARK.
 

 

 
   
 
המתמטיקה של התרופות
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

תקציר | המתמטיקה של התרופות פתרונות

המתמטיקה של התרופות
 
 
לפניכם גרף המתאר התפרקות אופיינית של האינסולין בדם מהרגע שנלקחה התרופה.  
 
1. השלימו את הטבלה:  
   
2. תארו במילים את התפרקות האינסולין בדם כתלות בזמן. תארו את קצב השינוי.
3. בהתבסס על הגרף והטבלה איזו פונקציה מתארת התפרקות האינסולין בדם כתלות בזמן?

4. חשבו על פי הפונקציה ובדקו בגרף.
א. כמה אינסולין נותר בדם לאחר שעה?
ב. כמה יחידות אינסולין בדם לאחר שעה וחצי?
ג. לאחר כמה זמן נותר בדם חצי מהכמות ההתחלתית של האינסולין?
ד. לאחר כמה זמן נותר בדם חצי יחידה של אינסולין?

 
 

בפתרון השאלות הבאות תוכלו להיעזר ביישומון:

 
   
 1. ד"ר פאר רשם לחולה מסויים כדורי טריאזולם. לאחר שהחולה נטל מספר גלולות,
היתה בדם של החולה כמות התחלתית של 4 מיליגרם.
א. מה תהיה כמות הסם בדם לאחר שעה? לאחר 6 שעות? לאחר יממה?
ב. במשך כמה שעות תעלם השפעת הסם ?
ג. בדיקת דם מסוגלת לאבחן נוכחות של התרופה אם תמצא בדם כמות של לפחות 0.1 מיליגרם מהתרופה.
לאחר כמה זמן תתקבל בדיקה שלילית?
2. א. שרטטו גרף לכל תרופה.
ב. השוו את השפעת ארבעת הסמים וסכמו את מסקנותיכם בכל ייצוג שתבחרו. מה ניתן לומר על קצב ההתפוגגות של כל תרופה.
ג. רק שלש מן הגלולות הן אמיתיות, הצביעו על גלולת השינה הלא אמיתית ונמקו תשובתכם.
3. רופאים מתעניינים בזמן שלוקח לתרופה בדם להגיע לחצי מהכמות ההתחלתית שניטלה. זמן זה נקרא מחצית החיים.
חשבו מהו זמן מחצית החיים של כל תרופה.
 
   
הפעילות מעובדת מתוך – פעילויות חקירה תמוכות מחשב – פונקציה מעריכית ולוגריתמית – אוניברסיטת חיפה.  
 

מקורות נוספים:

הסכנות באקמול – שיעור אינטראקטיבי לחקר השאלה מה קורה שלוקחים תרופת האקמול לכאב ראש   בכמויות שונות ובזה אחר זה.

יישומונים ופיצוחים בנושא גידול ודעיכה:

 אני ואתה נשנה את העולם פיצוח העוסק בפונקציה המעריכית דרך סרט הקולנוע "העבר את זה הלאה".
דעיכה רדיואקטיבית - סימולציה לדעיכה רדיואקטיבית. ישומון דינאמי ודף עבודה בו ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הדעיכה על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה.וכן להתרשם מקצב הדעיכה באנימציה של המיכל המתרוקן.
מרוב עצים לא רואים את היער... סימולציה לגידול מעריכי של יער ישומון דינאמי ודף עבודה בו ניתן לחקור כיצד משפיעים הפרמטרים השונים של פונקצית הגידול על הגרף הן בייצוג הגרפי, הטבלאי והויזואלי. כמו כן ניתן לעקוב אחר ערכים של הפונקציה .וכן להתרשם מקצב הגידול באנימציה של היער הגדל.
עלייה במחירי הדירות הפעילות כוללת דף עבודה ויישומון דינאמי, ועוסקת בהשוואה בין עליה של המחירים של שתי דירות בגידול מעריכי.

 
 
שטיח סירפינסקי
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

שטיח סירפינסקי
 

פְרַקטָל הוא צורה גאומטרית שמורכבת מעותקים מוקטנים של עצמה בכל רמת פירוט שנסתכל בה. לא חשוב כמה נתבונן אל תוך חלקיו של הפרקטל, תמיד נמצא בו חלקים הדומים לצורתו המקורית, כך שפרט קטן בצורה, דומה לצורת המקור כולה. (ויקיפדיה)

אחד הפרקטלים המפורסמים והמעניינים נקרא על שם מתמטיקאי פולני וולך סירפינסקי (1917), "שטיח סירפינסקי". הנה הוא לפניכם: התוכלו להסביר את מבנהו?

 
 

 

  שישה שלבים בשטיח סירפנסקי מתוך: ויקיפדיה

 
לפניכם תיאור כיצד בונים את השטיח. מתחילים משטיח ריבועי שאורך צלעו 1 מטר. בסדרה של צעדים חותכים ממנו ריבועים קטנים יותר ויותר.  
 
 
1. התבוננו באיורים, וביישומון. תארו במילים כיצד עוברים משלב לשלב.
2. השלימו את התמונה של השטיח בשלב השלישי. צבעו את הריבועים שחותכים מהשטיח.
 
 
 
3. כמה שטח ישאר מהשטיח בשלב ה-4? בשלב ה-5 ?
4. השלימו את טבלת הנתונים:
 
 
 
5. רשמו ביטוי אלגברי המתאר את הקשר בין מספר השלב בחיתוך השטיח לבין השטח שנותר.
6. כמה שטח ישאר בשלב החיתוך ה-10?
7. באיזה שלב של החיתוך יהיו יותר "חורים" מאשר שטח השטיח?
8. באיזה שלב של חיתוך ישאר מהשטיח רק 1% מהשטח המקורי?
9. מה תוכלו לומר על שטחו של שטיח סירפינסקי כאשר מספר החיתוכים שואף להיות אינסופי. 10. כיצד תשתנה הנוסחה של שטח השטיח החתוך אם נתחיל משטיח שאורך צלעו 4 מטרים.
 

למחשבה נוספת:
1. מהו ההיקף של השטיח לאחר חיתוך אחד? שימו לב להיקף גם סביב הריבוע הקטן שנחתך.
2. מהו ההיקף של השטיח בשלב השני, השלישי, הרביעי?
3. מה תוכלו לומר על ההיקף של שטיח סירפינסקי כאשר מספר החיתוכים שואף להיות אינסופי. 4. קראו על המימד של פרקטלים.

 

סרטונים מהרשת על פרקטלים:

מהו פרקטל – סרטון קצר המסביר את מבנה הפרקטל והופעותיו בטבע.

פרקטלים בעיצובים אפריקאים - הרצאה מרתקת מ-TED של רון אגלס.

 

 

 

 

 

 


 
מקורות נוספים:


מוזאון הכאוס הוירטואלי – מהו פרקטל? מהו המימד של הפרקטל?, סנונית.

משולש סירפינסקי –הוראות הכנה וחקירה – טומי דרייפוס, אוניברסיטת תל אביב.

משולש סירפינסקי – הוראות הכנה, כיתה בפיתה.

מה זה פרקטל? – אאוריקה.

משחקים כסביבה להצגת מושגים ומשפטים מתמטיים ולפתרון בעיות – נצה מובשוביץ הדר, על"ה 40


הפיצוח – אני דומה לעצמי

 

 

 



 

המשך קריאה...
 
בעיות גידול ודעיכה

בעיות גידול ודעיכה http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/10-12.png

הפיצוח עוסק בבעיות גידול ודעיכה, ויכול להוות שיעור פתיחה לנושא. בפיצוח שתי פעילויות אוריינות:
1. שטיח סירפינסקי, תיאור של בניית פרקטל וחקירת תכונותיו.
2. המתמטיקה של התרופות, חקר של תהליך התפוגגות תרופה בדם ובניית פונקציה מעריכית מתאימה וחקירתה. בפעילות גם סקירה כללית של שימוש בתרופות האחת האינסולין למחלת הסכרת והשניה שימוש בגלולות שינה.


 

 
 


תגים:  גידול ודעיכה פרקטל פונקציה מעריכית אוריינות גרף שיעור פתיחה
 
האם הכדורגל הוא עגול?

 

האם הכדורגל הוא עגול?    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-12.png

הפיצוח עוסק בחשיפה והזמנה לחקר של גופים משוכללים וגופים חצי משוכללים ובפרט העשרימון הקטום הידוע ככדורגל. הפיצוח מלווה ברקע היסטורי ומתמטי, בפעילויות אינטראקטביות ובסרטונים מרהיבים.

תגובות (0)

 
 


















תגים:  גאומטרית המרחב גופים משוכללים גופים חצי משוכללים עשרימון כדורגל כימיה
 
האם הכדורגל הוא עגול?

 

האם הכדורגל הוא עגול?    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-12.png

הפיצוח עוסק בחשיפה והזמנה לחקר של גופים משוכללים וגופים חצי משוכללים ובפרט העשרימון הקטום הידוע ככדורגל. הפיצוח מלווה ברקע היסטורי ומתמטי, בפעילויות אינטראקטביות ובסרטונים מרהיבים.

תגובות (0)

 
 

















 
האם הכדורגל הוא עגול?

 

האם הכדורגל הוא עגול?    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-12.png

הפיצוח עוסק בחשיפה והזמנה לחקר של גופים משוכללים וגופים חצי משוכללים ובפרט העשרימון הקטום הידוע ככדורגל. הפיצוח מלווה ברקע היסטורי ומתמטי, בפעילויות אינטראקטביות ובסרטונים מרהיבים.

תגובות (0)

 
 

















 
ה. הכדורגל במונדיאל
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow האם הכדורגל הוא עגול?
ה. הכדורגל במונדיאל
 

 
ד. כדורגל בחלל
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow האם הכדורגל הוא עגול?
ד. כדורגל בחלל
רגע של היסטוריה... ממש קרובה.

שנת 1996 הוענק פרס נובל לכימיה לשלושה כימאים:
קרוטו, קארל, וסמאלי על תגליתם של הפולרנים,
מולקולות של פחמן טהור שחלקם מסודרים ככדורים, "כדורי באקי".
 
File:C60 Buckyball croped.gif

הייחוד של התגלית היה לא רק בהדגמת קיומו של הפולרן,
אלא גם בכך שהסתבר שאטומי הפחמן נוטים להסתדר באופן טבעי במבנה זה.


טלסקופ החלל שפיצר של נאס"א גילה לראשונה בחלל חלקיקים בצורה של כדורגל
(buckyball) הנקראים פולרון, פחמן 60. הצורה שיוצרים 60 אטומי פחמן ב-C60,
היא פאון ארכימדס הקרוי "איקוסהדרון קטום",הבנוי ממחומשים ומשושים בדומה לכדורגל.
האסטרונומים גילו כדורים זעירים אלו סביב כוכב חם קטן הרחוק 6500 שנות אור
מכדור הארץ, בכמות היכולה ליצור 10,000 הרי אוורסט...

 שימושי כדורי הפחמן 60

כדורי הפולרנים ידועים בתכונות החוזק שלהם (חזקים יותר מיהלום), בגמישות,
עמידות לחום ומוליכות גבוהה. במהלך העשור האחרון, התכונות הפיזיקאליות
והכימיות של פולרנים, היו נושא חם בשדה המחקר והפיתוח.
נמצאו שימושים רבים לפחמן 60 בתחום הרפואה, הננוטכנולוגיה ועוד.
הפחמן 60 מהווה בסיס ליצירת חומרים קלים וחזקים - דבר השימושי בשביל בנייה
של שכפ"צים, אופניים ומטוסים - ואף מדברים על בנייה של 'מעלית לחלל החיצון'
המבוססת על ננו צינורות.
 לכתבה:
Tiny 'Soccer Ball' Space Molecules Could Equal 10,000 Mount Everests

לסרטון:
 

 

מקורות נוספים:
אנימציות של גופים
הכדור הוא עגול (כלומר, בערך) – מחווה מולקולרית למונדיאל, הידען.

 

arrow  המשך לחלק ה' - הכדורגל במונדיאל


 
ג. האם גם אויילר שיחק בכדורגל?
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow האם הכדורגל הוא עגול?
ג. האם גם אויילר שיחק בכדורגל?
אוילר מתמטיקאי ידוע מהמאה ה-18, חקר את הפאונים ותכונותיהם,
בבעיות שעסקו בהן כבר היוונים הקדמונים, וגילה תובנה שחמקה מעיני המתמטיקה
במשך אלפיים שנים לערך, נוסחת אוילר. הוא גילה קשר מספרי בין מספר מספר הפאות (F),
מספר הקודקודים (V) ומספר המקצועות (E).
 אולי כבר גיליתם בעצמכם?  
 קראו עוד על הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל בבלוג "לא מדויק".

 נשאלת השאלה האם הכדורגל וגופים אחרים גם הם מקיימים את נוסחת אוילר?
בדקו בעצמכם את הנוסחה עבור הכדורגל, העשרימון הקטום, וצפו בסרטון.

 
 קראו עוד על נוסחת אוילר (באנגלית).

 

מקורות נוספים:
אוילר וגאוס ביצירתם ובחייהם - אלה שמוקלר, קשר ח"ם
הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל -רשומה מאת גדי אלכסנדרוביץ' בבלוג לא מדויק

 

arrow  המשך לחלק ד' - כדורגל בחלל


 
ב. מהם גופים חצי משוכללים? ואיזה גוף הוא הכדורגל?
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow האם הכדורגל הוא עגול?
ב. מהם גופים חצי משוכללים?
ואיזה גוף הוא הכדורגל?

תרגיל בדמיון

בפניכם קובייה. כעת נסו לדמיין שקוטמים כל פינה בקובייה, איזה גוף נקבל?
אילו מצולעים תקבלו בכל פינה? כמה מצולעים כאלה יהיו בגוף החדש?
האם בגוף הקטום יהיו גם מצולעים אחרים כמה? ראו אנימציה.

 
 ראו גם פיצוח "לחתוך את הקוביה" בו תוכלו להתנסות בעזרת יישומון בחיתוך הקובייה.
גוף חצי משוכלל הוא גוף שכל פאותיו מצולעים משוכללים (מסוגים שונים),
ומכל אחד מקדקודיו יוצא אותו מספר מקצועות (צלעות).
 

ארכימדס חקר את הגופים הקטומים של הגופים המשוכללים,
וקיבל אוסף חדש של 12 גופים חצי משוכללים,
הידועים בשם פיאונים ארכימדים.
המפורסם שבהם הוא העשרימון הקטום, הוא הכדורגל.
קראו מאמר באלף אפס בנושא, אל תקלקל לי את המעגל
זיוה דויטש ועקיבא קדרי.

 
ראו סרטון מאת NuberPhile על העשרימון הקטום, הוא הוא הכדורגל!
שימו לב כמה פיאות לכדורגל ומהן תכונותיהן?

 

 

בנו לעצמכם כדורגל מנייר.
 

מקורות נוספים:

הסברים ואנימציות על גופים חצי משוכללים (באנגלית)

 

arrow  המשך לחלק ג' - האם גם אויילר שיחק בכדורגל?


 
א. הגופים המשוכללים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים  arrow האם הכדורגל הוא עגול?
א. הגופים המשוכללים
 ראשית נכיר את חמשת הגופים המשוכללים, הידועים כגופים האפלטונים.

 

חמשת הפאונים האפלטוניים

Tetrahedron.jpg

Hexahedron.jpg

Octahedron.jpg

Dodecahedron.jpg

Icosahedron.jpg

טטרהדרון
ארבעון - 4 פאות

הקסהדרון
קובייה - 6 פאות

אוקטהדרון
תמניון - 8 פאות

דודקהדרון
תריסרון - 12 פאות

איקוסהדרון
עשרימון - 20 פאות

מתוך ויקיפדיה

מה מייחד את הגופים המשוכללים?
1. כל הפאות בגוף חופפות.
2. בכל קודקוד נפגשים אותו מספר של פאות.
צפו בסרטון חמשת הגופים המשוכללים מאת numberphile.
הכירו את הגופים ושאלו את עצמכם מדוע קיימים אך ורק חמישה גופים משוכללים?

 

 

 תוכלו גם לצפות בסרטון תלת מימד על חמשת הגופים המשוכללים. הצטיידו במשקפיים מיוחדות.
 
בפעילות האינטראקטיבית הבאה תוכלו לצפות באנימציה תלת מרחבית של חמשת הגופים
ולסובב אותם בעצמכם. ניתן גם לסמן את הפאות ולספור אותן (F-faces),
את הקודקודים (V-vertices) ואת המקצועות (E-Edges).
באפשרותכם גם להדפיס את הפריסות ולבנות את הגופים.
השלימו את הטבלה האינטראקטיבית ובדקו תשובותכם.
 

מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד

צורת הפאה

E

V

F

 

פיאון
Polyhedron

 

 

 

 

 

Tetrahedron.jpg

ארבעון

 

 

 

 

 

Hexahedron.jpg

קובייה

 

 

 

 

 

Octahedron.jpg

תמניון

 

 

 

 

 

Dodecahedron.jpg

תריסריון

 

 

 

 

 

Icosahedron.jpg

עשרימון

 מצאו קשרים אפשריים בין מספר הפאות (F) , מספר הקודקודים (V) ומספר המקצועות (E).

 

מקורות נוספים:
מצגת על הגופים האפלטונים והארכמדיים ועוד מאת ענת קלמר.
בנה בעצמך גופים משוכללים (בעזרת קיפול וללא דבק), שמואל אביטל, קשר חם.
למה קיימים רק 5 פאונים משוכללים? כיתהפיתה
אוילר וגאוס ביצירתם ובחייהם - אלה שמוקלר, קשר ח"ם
יחידה מתוקשבת לחקר גופים – רוממידע, ביס רוממה, חיפה.
היחידה כוללת רקע היסטורי, רקע מתמטי ודפי עבודה לחקר וגילוי.

 

arrow המשך לחלק ב' - מהם גופים חצי משוכללים? ואיזה גוף הוא הכדורגל?


 
האם הכדורגל הוא עגול?
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
האם הכדורגל הוא עגול?
 

התבוננו בכדורגל.
מאילו מצולעים הוא מורכב? מה תוכלו לומר על תכונותיהם?
הכדורגל בנוי ממחומשים ומשושים משוכללים. גוף כזה נקרא פאון משוכלל למחצה. אך מהם הגופים המשוכללים? ומה מיוחד בהם?
מהם גופים משוכללים למחצה?

 
 א. הגופים המשוכללים  
 ב. מהם גופים חצי משוכללים? ואיזה גוף הוא הכדורגל?  
 ג. האם גם אויילר שיחק בכדורגל?  
 ד. הכדורגל בחלל  File:C60 Buckyball croped.gif
 ה. הכדורגל במונדיאל
 
 
ריבועים מסתובבים במערכת הצירים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
להדפסה|פתרונות
هيئة محاور

ריבועים מסתובבים במערכת הצירים

 

קצת היסטוריה
רֶנֶה דֶקַרְט
, מדען, פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי ( 1596-1650 ) הוא זה שהמציא את מערכת הצירים המוכרת לנו, וזו נקראת על שמו המערכת הקרטזית. הלא הוא אותו פילוסוף בעל האמרה המפורסמת: 'אני חושב, משמע -אני קיים'. רנה דקרט נחשב לאבי של גיאומטריה אנליטית, תחום המתמטיקה שמטפל בבעיות של גיאומטריה בעזרת אלגברה.
 Sample Image

  • 1. הריבוע המסובב
    לפניכם שני ריבועים במערכת צירים, הימני צלעותיו מקבילות לצירים והשמאלי "ריבוע מסובב".
    Sample Image
 
  • א. בנו ארבעה ריבועים שונים ורשמו את שיעורי קודקודיהם.
        ציירו במערכת הצירים, או בנו בעזרת הזזת קודקודי הריבוע ביישום האינטראקטיבי.
  • Inline Frames

ב. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים סמוכים של הריבוע.
    תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים סמוכים.
ג. בנו ריבוע בו הנקודות (5,3) ו- (5,7) הם קודקודים נגדיים של הריבוע.
   תארו כיצד לבנות ריבוע כאשר נתונים שני קודקודים נגדיים.
ד. האם רביעיות הנקודות הבאות הם קודקודים של ריבוע?
   האם תוכלו לקבוע מיהו הריבוע ללא ציורו במערכת הצירים?

  •    1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)
  •    2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)
  •    3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)
  •    4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3)
    ה. (a,b) ו- (c,d) הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?
  •    1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)
  •    2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)
  •    3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)
  •    4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3)
    ה. (a,b) ו- (c,d) הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?

 

  •    1. (8,3) (7,8) (2,7) (3,2)
  •    2. (3,3) (7,4) (8,8) (4,7)
  •    3. (16,19) (18,22) (21,20) (19,17)
  •    4. (4,20) (21,19) (20,2) (3,3)
    ה. (a,b) ו- (c,d) הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?
  • 2. שבעה ריבועים חבויים
    במערכת הצירים הבאה מסומנות 25 נקודות שהו קודקודים של שבעה ריבועים.
    שלש הנקודות המובלטות הן קודקודים המשותפים לשני ריבועים.
    התוכלו למצוא את כל שבעת הריבועים החבויים?

Sample Image 

  • 3.ריבוע בתוך ריבוע בתוך ריבוע
    הריבוע המסובב ABCD, חסום בתוך ריבוע גדול שצלעותיו מקבילות לצירים.
    בתוכו בנוי ריבוע קטן נוסף כמתואר באיור הדינאמי.

 

Sample Image

 

Inline Frames
א. מהם שיעורי הריבוע הגדול ? מהו שיעורי הריבוע הקטן ?
  • ב. מהו שטח כל אחד מהריבועים ?
  • ג. בנו איור דומה במערכת הצירים או בעזרת האיור הדינמי וציינו את שיעורי הקודקודים של הריבועים וחשבו את שטחיהם.
    ד. (A(a,b ו- (C(c,d הם קודקודים נגדיים בריבוע. מהם שיעורי שני הקודקודים האחרים?
    מהו שטח הריבוע ABCD? 
 
 
עוד על מערכת הצירים

משחקים אינטראקטיביים להכרות ותרגול מערכת הצירים:

מכרה היהלומים - משחק  אינטראקטיבי - הקש את הקורדינטות ואסוף את היהלומים שבדרך.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים ברביע הראשון.

Billy the Bug -  עזרו לבילי הג'וק למצוא חטיפים לזלילה המפוזרים במערכת הצירים בארבעת הרביעים.

מאובני דינוזאורים- עזרו לחוקרים למצוא במערכת הצירים מאובני דינוזאורים. (בדומה לצוללות)

Transmographer -  הזזות, שיקופים וסיבובים של מצולעים במערכת הצירים.

פעילויות ומשחקים:

פעילויות במערכת צירים- פעילויות מגוונות במערכות צירים שונות שהוכנו ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסודי: סימון נקודות ברביע הראשון ויצירת תמונות, הגדלה עפ"י יחס, יצירת תמונות של "מראה עקומה", סימון נתיבי מסעותיו של קולומבוס.

משחק "ארבע בריבוע"- חובר ע"י נצה מובשוביץ-הדר , ארבע בריבוע הוא משחק שמטרתו תרגול בזיהוי ובסימון נקודות במערכת צירים.

חלת הדבש - משחק במערכת הצירים שהוכן ע"י המרכז למורים למתמטיקה ביסוד.  משחק בו צריך למקם נקודות על מערכת צירים על פי תוצאות המתקבלות מזריקות שתי קוביות. המנצח הוא זה השם ארבע תוויות בשורה, או באלכסון או יוצר ריבוע.

בדוק את דמיונך- ציירו ציורים במערכת צירים על פי של שיעורי נקודות נתונות, וחיבורם בקווים ישרים. יש ראשית לנסות לנחש מהי הצורה המתקבלת ולאחר מכן לבדוק ניחוש זה. כמו כן, יש התייחסות להשפעה של שינוי של אחד משיעורי הנקודה על הציור המתקבל. מתוך גליונות לחשבון.

ייצור מערכת צירים- אתר ליצירה של דפי עבודה לכיתה, בו ניתן ליצור מערכת צירים לפי דרישתך.

 
ערך מוחלט

 

ערך מוחלט - במסדרון  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

משימה אוריינית להכרת פונקצית הערך המוחלט והזזות שלה. במשימה מתוארתסיטואציה של הליכה לאורך מסדרון ומדידית המרחקים מנקודה מסויימת במסדרון. הפעילות מלווה ביישומון דינאמי המדמה את הסיטואציה שבפעילות.

תגובות (0)



 

 
 

 
ערך מוחלט במסדרון כיתה ט
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
ערך מוחלט |פתרונות
ﻗﻴﻤﺔ ﻤطﻠﻘﺔ ﻓﻲ ﻤﻤر اﻟﺼﻔوف اﻟﺘﺎﺴﻌﺔ

ערך מוחלט במסדרון כיתה ט

 

   בפעילות זו מומלץ להיעזר ביישומון "המסדרון", המדמה את ההליכה במסדרון והכיתות.    ניתן להוריד את היישומון בגאוגברה 

       

 

א. תארו במילים את השתנות המרחק של נעה מכיתה ט2 מהרגע שנכנסה למסדרון עד להגעתה.

ב. איך יראה לדעתכם גרף המתאר את השתנות המרחק של נעה מכיתה ט2 ביחס לזמן ההליכה שלה במסדרון? סרטטו איור המציג את הגרף הזה.

ג. צפו ביישומון אחר הליכתה של נעה במסדרון , ועצרו את הזמן עם הגעתה לט'2. הפעילו עקבות.
האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?

ד. נעה הולכת מתחילת המסדרון עד ט'2. בנו פונקציה המתארת את המרחק של נעה ביחס לזמן הליכתה. מלאו את טבלת הערכים ובנו גרף מתאים. רשמו את התבנית האלגברית לפונקציה.

 

 

ה. בפעם אחרת נעה הולכת מתחילת המסדרון עד ט'2 , אבל אינה נעצרת וממשיכה מיד בדרכה עד ליציאה. תארו במילים את המרחק של נעה מהכיתה ט'2 מהרגע שנכנסה למסדרון עד ליציאתה מהמסדרון.

ו. איך יראה לדעתכם הפעם הגרף, המתאר את המרחק של נעה מכיתה ט'2 ביחס לזמן ההליכה שלה במסדרון? שרטטו גרף זה.

ז. צפו ביישומון ועקבו אחר הליכתה של נעה במסדרון , מכניסתה למסדרון עד ליציאתה. הפעילו עקבות. האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?

ח. נעה הולכת מתחילת המסדרון עדסופו. בנו פונקציה המתארת את המרחק של נעה מכיתה ט2 ביחס לזמן. מלאו את טבלת הערכים ובנו גרף מתאים. רשמו את התבנית האלגברית לפונקציה.
(היעזרו בערך מוחלט)

 ט. תלמידה אחרת, נטע מכיתה ט'4, גם צעדה מתחילת המסדרון עד לסופו. כיצד לדעתכם תשתנה הפונקציה והגרף, אם הפונקציה תתאר את המרחק שלה מ-ט'4.

י. שנו ביישומון את מספר הכיתה ל-4, וצפו אחר הליכתה של נטע במסדרון , מכניסתה למסדרון עד ליציאתה. הפעילו עקבות. האם הגרף המתקבל תואם את השערכתם? הסבירו מה רואים בגרף?
מה דומה ומה שונה בין שני הגרפים?

יא. ביום אחר נעה וגיל נכנסו למסדרון באותו זמן והלכו מתחילתו ועד סופו. גיל מיהרה מאד והלכה במהירות הכפולה מזו של נעה.במה יהיה שונה הגרף המתאר את מרחקה של גיל מט'2 לעומת הגרף המתאר את מרחקה של נעה מט'2?

יב. שוב במסדרון כיתה ט. נעה היתה בתחילת המסדרון וגיל היתה בקצהו השני. בדיוק באותו זמן, נעה וגיל הלכו זו לקראת זו באותה מהירות.
כיצד יראו הגרפים המתארים את מרחקה של נעה ושל גיל מט'2 ביחס לזמן? 

 

 

מעובד על פי: MATHEMATICS TEACHER, 2012 | Vol. 106, No. 3
הפעילות מתוך החוברת
פונקציית ערך מוחלט לעתודה מדעית טכנולוגית.

 
הפסיכולוגיה של המבצעים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
הפסיכולוגיה של המבצעים | الحملة المربحة

 

 

 


 

 

מן העיתונות : הפסיכולוגיה של מבצעי הנחות

 

בכדי לעודד מכירות, ולפתות לקוחות לקנות מוצר מסוים, סוחרים יוצאים במבצע ומציעים אותו במחיר מוזל. אך למעשה הם מפסידים מכך. כך עולה ממחקר חדש שפורסם בכתב עת של שיווק (Journal of Marketing).

חוקרים , מאוניברסיטת מינסוטה בדקו את עמדות הצרכנים כלפי מדיניות הנחות. הם מצאו, שקונים מעדיפים לקבל תוספת חינם מאשר לקבל משהו זול יותר. הסיבה העיקרית לכך שרוב האנשים מתקשים בהבנת שברים ואחוזים. צרכנים מתקשים לעתים קרובות להבין , למשל, כי הגדלת הכמות ב- 50% שווה בערכה להנחה של 33% במחיר. הנחקרים העדיפו באופן גורף הגדלת הכמות על הוזלה במחיר.  בניסוי, החוקרים מכרו 73% יותר קרם ידיים כשזה הוצע בחבילת בונוס מאשר כאשר הוצע במבצע הוזלה שווה ערך (גם לאחר שניטרלו השפעות אחרות, כגון הרצון לאגור) . תפיסה שגויה זו נשארה בעינה גם כשהמוצר היה בהנחה משמעותית. בניסוי אחר, הציעו שתי עסקות על מכירת פולי קפה : 33% כמות נוספת חינם או 33% הנחה על המחיר. הצעת ההנחה כדאית הרבה יותר, אך הקונים ראו את שתי ההצעות כשוות ערך.

מחקרים אף הראו דרכים אחרות שבהן סוחרים עלולים לנצל את חרדת המספרים של הצרכנים. אחת הוא לבלבל עם מבצעי הנחה כפולים. אנשים נוטים להעדיף מוצר שהופחת ב -20% , ולאחר מכן על ידי הנחה נוספת של 25% , יותר מאחד שהיה נתונה לשווה ערך, חד פעמי , הנחה של 40%.

 

1.    קופסת דגנים של  500 גרם עולה 25 ₪.

המבצע הענק: קופסת הדגנים הוגדלה ב- 50% והמחיר נשאר 25 ש"ח.

המבצע החם: מחיר קופסת הדגנים הוזל ב- 50%.

 איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

       א.      חשבו מה מחיר הדגנים ל-100 גרם.

       ב.      מה מחיר הדגנים ל-100 גרם במבצע הענק. (לאחר הגדלת הכמות) ?

       ג.       מהו אחוז ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 50% ?

       ד.      מה מחיר קופסת הדגנים לאחר ההוזלה במבצע החם ?
       מה מחיר הדגנים ל-100 גרם במבצע החם לאחר ההנחה?

       ה.      לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

 ו.        הציעו דרכים נוספות לפתרון.
      

2.      קופסת מיץ תפוזים של  250 מ"ל עולה 5 ₪.

המבצע הענק: קופסת המיץ הוגדלה ב- 40% והמחיר נשאר 5 ש"ח.

המבצע החם: מחיר מיץ התפוזים הוזל ב- 25%.

איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

      א.      חשבו מה מחיר מיץ התפוזים לכל יחידת מ"ל בכל אחד מהמבצעים.

      ב.      מהו אחוז ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 40% ?

      ג.       לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

 

 


 

3.    חפיסת שוקולד של  100 גרם עולה 10₪.

 המבצע הענק: חפיסת השוקולד הוגדלה ב- 50% והמחיר נשאר 10 ש"ח.

 
התבקשת ממנהל החנות לתכנן את המבצע כך שמחיר ההנחה במבצע הענק של הגדלת הכמות ב- 50% יהיה שווה ערך למחיר השוקולד במבצע החם.
באיזה אחוז יש להוזיל את חפיסת השוקולד?

 

 


 

 

4.    חבילת עוגיות שוקולד של  200 גרם עולה  10₪.

מבצע פיצוץ: חבילת העוגיות הוזלה ב- 10%, ויום לאחר מכן הוזלה שוב ב- 30%.

מבצע חגיגה: חבילת העוגיות הוזלה ב- 40%.

איזה מבצע כדאי יותר לדעתך?

 חשבו את מחיר חבילת העוגיות בכל אחד מהמבצעים.
לאחר חישוביך – קבעו מהו המבצע המשתלם ונמקו.

 
 
 

 
   

  עובד ע"פ MatheMatics teacher | Vol. 107, No. 4 November 2013

 
 
 

מקורות נוספים:

 משימות אוריינות בנושא אחוזים

 מבצעים חמים – אחוזים- יחידת לימוד בעריכת יעקב לדור, סמינר אורנים

 
 
הפסיכולוגיה של מבצעי הנחות

 

הפסיכולוגיה של מבצעי הנחות   http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-9.png

מאמר קצר המציג מחקר על הפסיכולוגיה של מבצעי הנחות וטעיות שכיחות בחישובי ההנחות. הפיצוח מציג בעקבות מחקר זה כמה שאלות העוסקות בחישובי הנחות מסוגים שונים.

תגובות (0)


 

 

 

 

 

 



 

 
דמיון ברחבי העולם- מסע בזמן

 

דמיון ברחבי העולם - מסע אל העבר http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png  

בפיצוח זה נצא למסע בעבר, בתקופות שונות ברחבי העולם מצריים, הודו וסין השתמשו במושג הדמיון לפתרון בעיות הנדסיות שונות. הבעיות ברמות חשיבה שונות ומזמנות את התלמידים לחקור ולקשר לחיי היום יום ולהיסטוריה של המתמטיקה.

תגובות (0)


 

 

 

 

 

 



 

 
דמיון ברחבי העולם -מסע בזמן

 

דמיון ברחבי העולם - מסע אל העבר http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png  

בפיצוח זה נצא למסע בעבר, בתקופות שונות ברחבי העולם מצריים, הודו וסין השתמשו במושג הדמיון לפתרון בעיות הנדסיות שונות. הבעיות ברמות חשיבה שונות ומזמנות את התלמידים לחקור ולקשר לחיי היום יום ולהיסטוריה של המתמטיקה.

תגובות (0)


 

 

 

 

 

 



 

 
דמיון ברחבי העולם- מסע אל העבר

 

דמיון ברחבי העולם - מסע אל העבר http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png  

בפיצוח זה נצא למסע בעבר, בתקופות שונות ברחבי העולם מצריים, הודו וסין השתמשו במושג הדמיון לפתרון בעיות הנדסיות שונות. הבעיות ברמות חשיבה שונות ומזמנות את התלמידים לחקור ולקשר לחיי היום יום ולהיסטוריה של המתמטיקה.

תגובות (0)


 

 

 

 

 

 



 

 
דמיון בעולם- מסע בזמן
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
דמיון ברחבי העולם |פתרונות
| בערבית

דמיון ברחבי העולם – מסע אל העבר

1.    הפירמידה במצריים

 
 
 הפירמידה הגדולה בגיזה שבמצריים, הידועה גם בשם הפירמידה של ח'ופו , הפרעה שבנה אותה, היא אחת משבעת פלאי תבל. רבים ניסו בעת העתיקה לאמוד את גובהה ללא הצלחה, אך תאלס (600 לפנה"ס)  חישב את גובהה של הפירמידה באמצעים פשוטים ובעזרת הידע המתמטי שלו.

הוא נשכב על החול ביום שמש ליד הפירמידה ובקש שיסמנו בחול את גובהו. לאחר שסמנו את גובהו בחול הוא נעמד בתחילת הסימון כך שגופו יצר צל לאורך הסימון על החול ומעבר לסימון.  באותו זמן יצרה הפירמידה אותה ביקש למדוד צל משלה.

תאלס אמר לנלווים אליו:
"כאשר צילי יגיע לגובהי המסומן, מדדו את צל הפירמידה."


הם מדדו ומצאו שאורך צל הפירמידה 145 מ'. מה גובה הפירמידה?
הסבירו את שיטת מדידתו של תאלס.
 

 

2.    בעית המיתרים של בסקרה – הודו

בסקרה (Bhaskra) אסטרונום ומתמטיקאי הודי מהמאה ה-12. מפורסם בפיתוח שיטות לפתרון משוואות ריבועיות ועוד, חיבר כללים לפעולות במספרים חיוביים ושליליים ואף הציג שתי הוכחות יפות ופשוטות למשפט פיתגורס בעזרת דמיון משולשים.

בין שני עמודים בגובה 15 מטר ו-10 מטר,נמתחו מיתרים באלכסון. בנקודת המפגש בין המיתרים הוצב עמוד תומך.
לא ידוע המרחק בין העמודים.

א. חשבו את גובהו של העמוד התומך.     רמז - סמנו במשתנים את המרחקים של
    שני העמודים מהעמוד התומך.

ב. האם משנה המרחק בין העמודים ?
   התנסו ביישומון והסבירו ממצאכם.

ג. אם ידוע שגובה שני העמודים a ו-b. הביעו באמצעות a ו-b את גובה העמוד התומך.  

   
 

3.    התעלה בסאמוס – יוון

באי סאמוס היפהפה שביוון העתיקה (הידועה כיום בשם פיתגוריה..), בעיר הנמל החשובה לא היה מספיק מים לתושבים ולצבא. אך היה שפע של מים בהרים. בשנת 530 לפנה"ס, נחפרה תעלה באורך של קילומטר דרך ליבו של הר אבן קשה (ההר קסטרו). שני צוותי חפירה התקדמו זה מול זה משני קצות התעלה והצליחו להיפגש באמצע כמעט ללא טעות. החופרים השתמשו בפטישים ואזמלים בלבד, ולא היה ברשותם מצפן, מפה טופוגרפית או כל מכשיר נווט אחר.  זוהי משימה מאתגרת גם כיום עם יכולות הטכנולוגיה המודרנית. מהנדס חפירת התעלה,  יאופלינוס (Eupalinos) השתמש בתכנון אך ורק בגיאומטריה, ובפתרון פשוט ומפתיע הצליח לתת לשני צוותי החפירה את הזווית המדויקת בה יחפרו. כיצד עשה זאת?

הבעיה שהתמודד איתה אופלינוס היה לקבוע את הכוון של כל צוות חפירה. לשם כך ערך סיור רגלי מסביב לאי בין המעין שבהר עד לעיר הנמל בקצה השני, כשהוא הולך בקווים ישרים ואנכים זה לזה. הוא מדד את אורכי קטעי המסלול שלו, וכך הצליח לדמיין משולש ישר זווית עם הזווית המבוקשת.

א.   מה מתאר סכום הניצבים האנכיים?

 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/past%20similarity/8.png

ב.   כיצד ניתן למדוד את הניצב האופקי של המשולש?

ג. התבוננו בסרטון "כמו מים בסאמוס" והסבירו את שיטת יאופלינוס.

 
ד. כיצד קבעו היוונים זווית ישרה?
      יש הסוברים שהשתמשו בשני מקלות באורכים שווים וסימון האמצע של כל אחד מהם.
      הסבירו כיצד עובדת השיטה?

 הרחבה:
     השיטה המצרית למשולש ישר זווית: משולש מצרי (בעיה 4 בפיצוח
קיפולי נייר גיאומטריים)

 
 

4.   דמיון בסין

 ראשית נכיר את עקרון "משני הצדדים".
א. הנקודה E היא נקודה כלשהי על אלכסון המלבן ABCD. מעבירים מהנקודה E קטעים המקבילים לצלעות המלבן.
מה הקשר בין שטחי שני המלבנים שנוצרו (
DHEG  ו- FEIB )?
הזיזו את הנקודה
E ביישומון , בדקו והוכיחו השערתכם.
 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/past%20similarity/4.png
ב. הראו כי המשולשים  ΔAFE~ΔEIC
ג. השתמשו בעקרון "משני הצדדים" (שוויון השטחים) בכדי לחשב את היחס a/b באמצעות h1 ו-h2.

ד. פתחו את עקרון "משני הצדדים" גם עבור מקבילית.
    הראו כי המשולשים ΔAFE~ΔEIC דומים,
     וחשבו את היחס
a/b באמצעות h1 ו-h2.
     נסחו משפט לגבי יחס הגבהים במשולשים דומים.

תוכלו להיעזר ביישומון .



 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/past%20similarity/5.png
 
5. להשקיף על אי בים – סין

המתמטיקה הסינית שימשה את מהנדסי האימפריה הסינית  במדידות של שטחי שדות, בהכנת לוח השנה, לצרכים צבאיים, נווט וכדומה.

המתמטיקאי הסיני ליו הואי, בן המאה ה-3 , כתב את הספר  "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה", ובאחד הפרקים כתב מדריך מתמטי לאי בים, הכולל בעיות שונות בנווט ופתרונן המתמטי.

כיצד נמדוד את גובהו של צוק הררי בלב ים ?
ליו הואי פיתח שיטה הנקראת "הפרש כפול" למדידת עצם רחוק מבלי להגיע אליו, בעזרת עקרון "הפנים חוץ".

"העמדתי שני מוטות באורך 3 מטרים במרחק של 1000 צעדים זה מזה, כך שיהיו בקו ישר עם האי. הלכתי אחורה 123 צעדים מהמוט הראשון עד שראיתי את קצה המוט וקצה הסלע בקו אחד. כך גם צעדתי 127 צעדים מהמוט השני. כך הצלחתי למדוד את הגובה של הסלע באי ומרחקו מהמוט. " 

התוכלו גם אתם למדוד את גובה הסלע?


 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/past%20similarity/6.png

א.  השלימו את משולש AHI למקבילית. העבירו מהנקודה G שעל אלכסון המקבילית, מקבילים לצלעות. סמנו את המשולשים הדומים שהתקבלו.

ב.  חשבו את אורכי צלעות המשולשים בעזרת הפרשי האורכים הנתונים. היעזרו ביישומון

ג.  חשבו בעזרת עקרון "משני הצדדים" את גובה הסלע AB.

ד.  הכלילו את השיטה.

 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/past%20similarity/7.png
 
מקורות נוספים:

"תעלת יאופאלינוס, כמו מים לסאמוס", סרט באורך 2:30 דקות מתוך הסדרה  "מה ידעו הקדמונים", סרטים קצרים העוסקים בהנדסה המופלאה של העת העתיקה.

ההנדסה של האימפריה, סרט של ערוץ ההיסטוריה על בניית תעלת סאמוס. (בך7 דקות)

Proportionality in Similar Triangles: A Cross-Cultural Comparison - The Ancient Chinese Contribution, Jerry Lodder, MMA

 
   

פיצוחים בנושא דמיון:
פרוייקט עולמי למדידת היקף כדור הארץ

ממוצעי פיתגורס ועוד 

על כנפי הדמיון  

אני דומה לעצמי 

 

 

 
בדרך לפיתגורס - ריבועים רוקדים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
בדרך לפיתגורס|פתרונות
الطريق الى فيتاغوروس
|حلول
Sample Image - ריבועים רוקדים
 

 
ריבועים רוקדים

א. המשחק "השלימו לריבוע"

בואו נשחק משחק. ברשותכם רשת נקודות.
כל שחקן בתורו בוחר נקודה על הרשת ומסמנה בצבע משלו.
השחקן המנצח יהיה הראשון אשר יהיו לו ארבע נקודות שניתן לחברן לריבוע.
ריבוע יכול להיות מסובב ומכל גודל.

ניתן לשחק במשחק האינטראקטיבי מול המחשב או מול חבר, או בעפרון ונייר על דף הרשת הבא.

ב. לפניכם כמה ריבועים מתוך המשחק.
המרחק בין כל שתי נקודות יחידה.

 Sample Image
התוכלו לחשב את אורך הצלע של כל ריבוע ? שטחו של כל ריבוע? 

 Sample Image

 Sample Image

ודאי שמתם לב שיש ריבועים שמיד ניתן לראות את אורך הצלע שלהם ומכאן בקלות לחשב את שטחם.  כיצד תאפיינו ריבועים אלו ואת הקשר בין אורך צלע הריבוע ושטחו?

אך, לא קל למצוא באופן מיידי את אורך הצלע של הריבועים "המסובבים". האם מצאתם? הכיצד?
הנחיה- מצאו את השטח של  הריבוע המסובב בעזרת ריבוע נוסף החוסם אותו וארבעת המשולשים המקיפים אותו
.

ג. בחקירה הבאה תוכלו להיעזר ביישום דינאמי בו ניתן לסובב ריבוע בעזרת החיצים.

(1). נתבונן בסדרת ריבועים מסובבים שהוטו יחידה אחת מעלה.

 Sample Image

חשבו את שטחי הריבועים בסדרה. האם מצאתם חוקיות בין שטחי הריבועים הללו?
התוכלו לדעת מה יהיה שטח הריבוע הבא בסדרה?

(2). בדקו האם קיימת חוקיות לשטח של סדרת ריבועים שהוטו 2 יחידות מעלה. 
      3 יחידות ? 4 יחידות? n יחידות?

 Sample Image

                ריבוע הנטוי 4 יחידות              ריבוע הנטוי 3 יחידות                ריבוע הנטוי 2 יחידות
 הפעילות פותחה לפי nrich (ניתן לצפות גם בסרטונים להדגמת השיעור)

 

מקורות נוספים להעמקה והרחבה:

Sample Image מאדריכלות נוף למשפט פיתגורס- הצעות לפעילות של מטח

  • Sample Image Pythagorean Theorem- IES - אוסף יישומים דינאמיים של הוכחות למשפט פיתגורס ושימושים בבעיות שונות.
  • Sample Image פעילות מקוונת בנושא: משפט פיתגורס- מסע בעולם המרתק של רשת האינטרנט, תבקרו באתרים ממקומות שונים בעולם, העוסקים בפיתגורס האדם ופעלו לעולם המתמטיקה ותיישמו את משפט פיתגורס בבעיות שונות. כתבה וערכה - נאווה מזרחי חט"ב "מיכה רייסר"- ראשון לציון
  • Sample Image הרפתקה פיתגוראית- מאמר מבית "אלף אפס" המספר את סיפור מסע היתדות בן ה-3700 שנים על שלשת המספרים הידועה כשלשת פיתגורס. כתבו: זיוה דויטש, עקיבא קדרי
  • Sample Image משפט פיתגורס- מבחר הוכחות ללא מילים, מאמר של "אלף אפס" ועוד חידות בנושא ויישומו.
  • Sample Image "כל דבר הוא מספר"- מאמר מאת "בארץ הדעת", על תפיסותיו של פיתגורס את מושג המספר ואת המספרים הרציונאליים. כתב: רועי יהושע.
  • Sample Image מצגת על הוכחות של משפט פיתגורס, שלשות פיתגוריות ועוד - פסגה הרצליה, מרים עוזר, רונית רביע, ריטה שכטר
  • Sample Image נגריה מתמטית - בעיית החדש, קשר חם - מוצגת בעיה העוסקת בבניית ריבוע ששטחו שווה לשטח מלבן נתון. הבניהמתבססת על משפט פיתגורס, ומובילה להוכחתו בדרך גיאומטרית. מצורף פתרון לבעיה.

עוד פיצוחים:

 Sample Image

playing math with your food By George Hart for the Museum of Mathematics 
 
מרובע שכזה - מרובע שאלכסוניו מאונכים בקיפולי נייר
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
מרובע שכזה | פתרון
شكل شكل رباعي كهذا
 
   
 

קפלו דף מלבני לאורכו ולרוחבו כך שיתקבלו בפתיחת הדף ארבעה מלבנים חופפים (ראו איור) כעת סמנו על כל קטע מארבעת הקטעים שהתקבלו (הקיפולים) נקודה כלשהי, וחברו את הנקודות כך שיתקבל מרובע.

1. חשבו ובדקו. תוכלו לנסות מצבים שונים ביישום הדינאמי.

א. אילו מרובעים ניתן לקבל? 

ב. אילו מרובעים לא ניתן לקבל? 

ג. האם ניתן ליצור מרובע קעור?

ד. האם אלכסוני המרובע שהתקבל תמיד יהוו קווי סימטריה?

ה. מה נקבל אם כל הנקודות יהיו באותו מרחק מהנקודה המרכזית (M)?

ו. מה נקבל אם רק זוג אחד של נקודות ימצא במרחק שווה מהנקודה המרכזית? האם יש יותר מאפשרות אחת? 

 
2. נמצא את שטח המרובע שאלכסוניו מאונכים בעזרת קיפולי נייר.  

  
גזרו את אחד המרובעים שיצרתם אשר אלכסוניו מאונכים.

א. קפלו שני קודקודים נגדיים אל נקודת המפגש של האלכסונים.

ב. קפלו את שני הקודקודים האחרים אל נקודת מפגש האלכסונים כך שתתקבל מעין מעטפה.

                           

ג. איזה מרובע התקבל? נמקו.
כיצד ניתן לקבל ריבוע?

ד. מה הקשר בין צלעותיו לאלכסוני המרובע המקורי? הסבירו.

ה. איזה חלק מהווה המרובע שהתקבל משטח המרובע המקורי? כיצד מצאתם?

ו. אם ידוע כי אורכי האלכסונים של המרובע הם 6 ו-8 ס"מ. מה שטח המרובעים?
   בדקו ביישום הדינאמי.
   אם נסמן את אורכי האלכסונים של המרובע ב-x ו-y ס"מ. הביעו את שטח המרובעים.

 

מקורות 

1. המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך היסודי, מעובד מתוך הרצאה של ג'וני אוברמן.
2. "אקפלה" – ספר מאת גיא פז, קיפולי נייר ומתמטיקה.


המשך: איזהו המעוין החסום במלבן
 
מה לעז ולגיאומטריה?

מה לעז ולגיאומטריה?   http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-10.png

בפיצוח שלש בעיות בגיאומטריה, המוצגות כחידות, הדורשות דמיון וראייה מרחבית. היישומים הדינאמיים מסייעים להמחשה ולפיתוח חשיבה ויזואלית. הבעיות מתאימות ללומדים את נושא המעגל כמקום גיאומטרי (לאו דוקא באופן אלגברי) והכרות עם חישובי שטח של עיגול.

 

 

תגובות (0)

 


תגים:  מעגל שטח עיגול מקום גיאומטרי ראיה מרחבית
 
מה לעז ולגיאומטריה?

מה לעז ולגיאומטריה?   http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-10.png

בפיצוח שלש בעיות בגיאומטריה, המוצגות כחידות, הדורשות דמיון וראייה מרחבית. היישומים הדינאמיים מסייעים להמחשה ולפיתוח חשיבה ויזואלית. הבעיות מתאימות ללומדים את נושא המעגל כמקום גיאומטרי (לאו דוקא באופן אלגברי) והכרות עם חישובי שטח של עיגול.

 

 

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 


 


תגים:  מעגל שטח עיגול מקום גיאומטרי ראיה מרחבית
 
מה לעז ולגיאומטריה?
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
מה לעז ולגיאומטריה? | ما للعنزة والهندسة؟
 

במרכז שדה ריבועי 5x5 מ"ר, קשורה בחבל עז רעבתנית, האוכלת כל עשב הנקרה בדרכה.

א. מה צריך להיות אורך החבל כך שתאכל רק חצי מהשדה? מהי צורת השטח שתאכל העז?
התנסו ביישומון

ב. מהו אורך החבל הגדול ביותר שניתן לקשור בשדה זה? איזה חלק של השדה תאכל אז העז?

 

Inline Frames

בתוך שדה רחב נמצא שטח מרוצף ריבועי שאורך צלעו 2 מטר. אל קצות השטח קשורה עז בלולאה בחבל באורך 1 מטר.
העז מסתובבת סביב השטח המגודר ואוכלת את כל העשב אליו היא מגיעה.

התנסו ביישומון, הזיזו את הלולאה של החבל סביב, וענו:

א. מהי צורת השטח שתאכל העז? חשבו את השטח של העשב הנאכל. הסבירו.
ב. בשדה אחר העז הרעבתנית נקשרה לשטח בצורת מחומש משוכלל שאורך צלעו 2 מטרים. מהי צורת השטח שתאכל העז הפעם? חשבו את השטח של העשב הנאכל. הסבירו.
ג. כיצד ישתנה השטח שתאכל העז אם השטח יהיה בצורת משושה משוכלל שאורך צלעו 2 מטרים? משולש שווה צלעות?
ד. הכלילו מהי צורת השטח שתאכל העז סביב שטח בצורת מצולע משוכלל בעל n צלעות? הביעו את שטחו בעזרת n.

 

במרכז שדה נמצא שטח מגודר מלבני ומרוצף בגודל 4x6 מ"ר. עז רעבתנית קשורה האחת הנקודות על הצלע CD.
נסו לשער בכל אחד מהמקרים הבאים את צורת השטח שתאכל העז ואת שטחה.
בדקו ביישומון.

א. העז קשורה אל הקודקוד C בחבל שאורכו 3 מטרים, 4 מטרים, 5 מטרים, 10 מטרים.
ב. העז קשורה אל אמצע הצלע CD בחבל שאורכו 3 מטרים, 4 מטרים, 5 מטרים, 10 מטרים.
ג. היכן לדעתכם נקשרה העז, אם צורת השדה שהתקבלה כבאיור הבא.
ד. אורך החבל 10 מטרים, היכן יש לקשור את העז על הצלע CD, כך שיתקבל שטח מקסימלי?

 
מעגלים מתגלגלים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
מעגלים מתגלגלים | פתרונות | دوائر متدحرجة
 
 

1. דו-אופן ותלת אופן

שני מעגלים מתגלגלים בתוך מעגל גדול, משיקים כל העת זה לזה ולמעגל החוסם אותם. שני המעגלים הקטנים יותר, מרכזיהם B ו-C משיקים זה לזה חסומים בתוך מעגל גדול יותר שמרכזו A.

סובבו ביישומון את הנקודה B וחקרו את המעגלים המתגלגלים.

א. האם וכיצד משתנה היקף המשולש ABC ? נמקו.

ב. מה היחס בין היקף המשולש לקוטר המעגל הגדול?

ג. אם נשנה את גודל המעגלים, כיצד ישתנה היקף המשולש ABC ? הסבירו.

ד. הוסיפו לשני המעגלים המתגלגלים מעגל נוסף שמרכזו בנקודה D. אם נשנה את גודל המעגלים כיצד ישתנה היקף המרובע ABCD? התנסו ביישומון.  

2. המשולש המתגלגל

המשולש ABC חסום בין הקירות המאונכים והכדור המשיק לקירות.

חקרו ביישום הדינאמי כיצד משתנה היקף המשולש? למה הוא שווה?

 

 

3. כובע ליצן

כובע הליצן בנוי ממשולש שווה צלעות, בתוכו חסום עיגול קטן שרדיוסו 10 סנטימטר וחצי עיגול המשיק לעיגול הקטן ולצלעות המשולש.

א. מצאו מהו רדיוס חצי העיגול הגדול.

ב. מהו אורך צלע המשולש?

4. פרחים

סביב מרכז הפרח העגול מסודרים עלי הכותרת העגולים השווים בגודלם.

א. לפניכם שלושה פרחים: הפרח המשולש, הפרח המרובע, הפרח המשושה.

חשבו בכל פרח את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני.

העזרו ביישומון

ב. למתקדמים (דרוש ידע בטריגונומטריה)
לפניכם פרח עם 12 עלי כותרת. חשבו את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני.

ג. חשבו את היחס בין הרדיוס של המעגל הפנימי לבין רדיוס המעגל החיצוני בפרח בו n עלי כותרת.


הידעתם מה זה סנגקו (sangaku)?

במאה ה-17-19 שלטו השוגונים ביפן. היפנים חיו בניתוק מהמערב ולא נחשפו להתפתחויות המדעיות המערביות, אך התפתחה ופרחה מתמטיקה מקומית. מנהג עתיק היה לתלות תחת גגות של מקדשים וקברים, לוחות עץ צבעוניים עליהם צוירו בעיות גיאומטריות יפהפיות. לוחות אלו נקראו סנגקו, נתלו כאות הערכה ותודה לקדושים והזמינו את באי המקדש להתפלל וגם לפתור את החידות! לרוב בעיות ה sangaku יש סגנון מיוחד. הן מרבות לעסוק במעגלים, ריבועים, אליפסות, וכדורים במרחב, הנוגעים זה בזה. קראו עוד.


 

קישורים נוספים

פיצוחים בנושא מעגלים

יישומים דינאמיים - משפטים ובעיות בנושא המעגלים

אוצרות פיתגורס – פיצוח ובו בעיות עם מעגלים משיקים ופתרונן בעזרת משפט פיתגורס.


חידת סנגקו בגאוגברה, וידאו המסביר כיצד לבנות בגאוגברה בתוך מעגל שלושה מעגלים משיקים זה לזה ומשיקים למעגל הגדול החוסם אותם.
בעיה הלקוחה מגיאומטריית המקדשים היפנית - אליהו לוי, הטכניון.

Japanese Temple Geometry -
,Tony Rothman , Scientific American May 1998 - מאמר המתאר את מסורת הסנגוקו, חידות גיאומטריות יפניות עם מעגלים וכדורים ואת פתרונן.

פלקסגון – קיפול ניר צבעוני עם חידות סנגוקו

על אריזת כדורים - אלכס רזניק, כמעט 2000, כתב עת למדע וטכנולוגיה

התנהגות מתמטית בעלת גוון של שימור - שלמה חריר, משה סטופל , על"ה 35.

 

שרשרת שטיינר

 
 
 
לוח גלטון

לוח גלטון  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-11.png         

הפיצוח עוסק בהסתברות ומעט בסטטיסטיקה. בפיצוח פעילות לחקר התפלגות בינומית תוך ניסוי בסימולציה דינאמית של לוח גלטון (הדומה למשולש פסקל). התלמידים חוקרים את גרף הפעמון, העקומה הנורמלית ומפתחים את הנוסחאות להסתברות בינומית, תוך שימוש במשולש פסקל.  בפיצוח הפניות לרקע הסטורי של ענף ההסתברות ושימושים בתרבות המודרנית (חכמת ההמונים).    

 

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 


 

 
מעגלים מתגלגלים

מעגלים מתגלגלים   http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

בפיצוח ארבע בעיות העוסקות במעגלים המשיקים זה לזה. הבעיות מפתיעות בפתרונן הפשוט ומסתמכות על משפטים בסיסיים בנושא המעגלים. מתאים לראשית לימודי הגיאומטריה של המעגלץ באחת הבעיות יש הרחבה ליחסים הטריגונומטריים במשולש ישר זווית. 
בפיצוח רקע היסטורי ותרבותי לחידות סנגוקו, חידות דומות מסין.

 

תגובות (0)

 


תגים:  מעגלים משיקים גיאומטריה יישומים דינאמיים
 
לוח גלטון

לוח גלטון  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-11.png         

הפיצוח עוסק בהסתברות ומעט בסטטיסטיקה. בפיצוח פעילות לחקר התפלגות בינומית תוך ניסוי בסימולציה דינאמית של לוח גלטון (הדומה למשולש פסקל). התלמידים חוקרים את גרף הפעמון, העקומה הנורמלית ומפתחים את הנוסחאות להסתברות בינומית, תוך שימוש במשולש פסקל.  בפיצוח הפניות לרקע הסטורי של ענף ההסתברות ושימושים בתרבות המודרנית (חכמת ההמונים).    

 

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 


 

 
מעגלים מתגלגלים

מעגלים מתגלגלים   http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

בפיצוח ארבע בעיות העוסקות במעגלים המשיקים זה לזה. הבעיות מפתיעות בפתרונן הפשוט ומסתמכות על משפטים בסיסיים בנושא המעגלים. מתאים לראשית לימודי הגיאומטריה של המעגלץ באחת הבעיות יש הרחבה ליחסים הטריגונומטריים במשולש ישר זווית. 
בפיצוח רקע היסטורי ותרבותי לחידות סנגוקו, חידות דומות מסין.

 

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 


 


תגים:  מעגלים משיקים גיאומטריה יישומים דינאמיים
 
המבוך של גלטון
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
המבוך של גלטון | متاهة غالتون
 
 
בואו נשחק במשחק "המבוך של גלטון", או כפי שהוא מכונה גם מכונת גלטון.
המשחק מורכב מלוח של מסמרים המסודרים כמשולש ב-7 שורות. זורקים כדור מראש הלוח, הכדור עושה דרכו מלמעלה עד למטה, כך שבכל פעם פוגע במסמר וממשיך את דרכו ימינה או שמאלה באופן אקראי וכך הלאה, עד שהוא מגיע לאחד התאים בתחתית הלוח.
Inline Frames

א. באפשרותך להמר, ולבחור את התא הזוכה. הפעילו את הסימולציה והפילו כדור. (הנחיות)
האם הכדור הגיע לתא שבחרת?

הפעילו את הסימולציה 10 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת?

הפעילו 100 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת? (ניתן להפיל את הכדורים באופן רציף ולעצור כש-n קרוב ל-100). לאיזה תא נכנסו רוב הכדורים?

שרטטו סקיצה של גרף העמודות ואפיינו את צורתו.

הידעתם?

משחק המבוך הומצא על-ידי פרנסיס גלטון (Francis Galton, 1822-1911). גלטון היה מדען אנגלי שחקר תופעות שונות, בעיקר תופעות תורשה, באמצעות הסתברות וסטטיסטיקה. גלטון נחשב לחלוץ בתחום שנקרא ״חוכמת ההמונים״ ונודע בעקבות הסיפור על השור.. בשוק שוורים נערך משחק הימורים בו המבקרים התבקשו להעריך את משקלו של שור. להפתעתו של גלטון אף איש וגם אף לא אחד מהמומחים לא הצליח להעריך את המשקל האמיתי של השור, אך הממוצע של כל ההערכות היה קרוב מאד למשקל האמיתי. ממוצע ההימורים של ההדיוטות בכיכר היה 542.9 קילוגרם. משקלו האמיתי של השור היה 543.4 קילוגרם! ב 2012 – שיחזר את הניסוי, מומחה ישראלי לחכמת ההמונים, בהרצאת TED והביא לבימה שור אמיתי...

צפו בכתבה במאקו על חכמת ההמונים ופתרון משברים עם ליאור צורף.

ב. נעם בחר בתא A2 כמנצח. תארו מסלול אפשרי שבו הכדור נופל ל- A2.

רשמו את כל המסלולים ל- A2, למשל LLRRLLL. כמה מסלולים אפשריים לתא זה?

שימו לב כמה פעמים פנה הכדור ימינה, וכמה פעמים פנה שמאלה בכל אחד מהמסלולים האפשריים לתא זה. האם קיים תא נוסף במבוך שיש לו אותו מספר מסלולים?  

ג. השלימו לאיזה תא יגיע הכדור אם מסלולו יהיה:  

ד. הפעילו את הסימולציה 500 פעמים, והשלימו את טבלת השכיחויות על פי הניסוי: 

ה. שרטטו סקיצה לגרף העמודות ואפיינו את צורתו.
 
 "זה החוק העליון של חוסר ההגיון. בכל פעם שיש כמות גדולה וכאוטית של נתונים, אתה מצעיד אותם לפי סדר הגודל שלהם ואז מופיעה, באופן מפתיע ויפהפה, צורה של סדר שהייתה סמויה לאורך כל הדרך"  Fransis Galton
 
התפלגות נורמלית, הנקראת גם התפלגות גאוס או עקומת הפעמון, הנה בלי ספק צורת ההתפלגות השימושית ביותר בכל תחומי המדע, החל מסטטיסטיקה, דרך ביולוגיה ועד מדעי החברה. בהתפלגות זו ניתן להשתמש לתיאור הפילוג של תוצאות ניסוי, התפלגות ממוצע ציונים בכיתה, התפלגות מנת המשכל במדגם אוכלוסייה, התפלגות מחיר של מניה ועוד ועוד . קראו על עקומת הפעמון במכון דוידסון ואצל הידען
 
   
כיצד נחשב את ההסתברויות השונות של הכדור הנופל בלוח גלטון?
א. נתבונן בלוח גלטון מוקטן , בעל שתי שורות בלבד. ברור שלכדור הנופל יש שתי אפשרויות בלבד בדרכו, שמאלה (L) או ימינה (R). מהי ההסתברות שיגיע לתא השמאלי?

ב. נוסיף שורה ללוח גלטון.

השלימו את תיאור המסלולים לכל תא.

בכמה מסלולים יכול הכדור להגיע לתא האמצעי?

מה מספר המסלולים האפשרי להגיע לכל אחד מהתאים בשורה השנייה?

מה ההסתברות שהכדור יפול לתא האמצעי?  

ג. מתואר עץ המתאים לכדור הנופל בלוח גלטון.

ד. רשמו על העץ, בכל תא את כל המסלולים של הכדור המגיע אליו. (L שמאל, R ימין)

ה. רשמו על העץ, בכל תא את מספר המסלולים האפשריים להגיע אליו.

ו. רשמו על העץ, בכל ענף את ההסתברות להגיע אליו.

המבוך של גלטון הוצב בשיפוע. כיצד ישתנה המשחק בו?

כיצד ישתנו ההסתברויות אם הסיכוי של הכדור ליפול ימינה גדול יותר מהסיכוי ליפול שמאלה....

התנסו במשחק בעזרת הסימולציה.

בחרו בלוח של 7 שורות ושנו את P.

א. כיצד ישתנה גרף העמודות? במה הוא שונה מגרף הפעמון שהכרנו קודם?

ב. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A2, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6?

ג. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A1, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6? ולתא A6? פרטו כיצד חישבתם.

ד. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של 7 שורות.

ה. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של n שורות.  

הידעתם?

חוק המספרים הגדולים של ברנולי אומר שאם חוזרים על ניסוי אקראי, כמו נפילת כדור בלוח גלטון, מספר רב של פעמים, השכיחות היחסית הנצפית בניסוי קרובה להסתברות התיאורטית. חוק המספרים הגדולים התגלה במאה ה-18 על ידי המתמטיקאי השוויצרי, ברנולי, והוא שינה את החשיבה על הסתברות, מקביעה של אירוע בדיד לחיזוי של התנהגות לטווח ארוך. ברנולי העיד שזהו חוק טריוויאלי, כל כך פשוט כך שכל הדיוט מכיר. ולמרות זאת לקח לו כ-20 שנה להוכיח את המשפט באופן מתמטי.

קראו עוד על חוק המספרים הגדולים של ברנולי, מאמר בבלוג נסיכת המדעים.  

סרטונים


מכאוס לסדר במכונת גלטון

ריקוד המזל – סימולציה של מכונת גלטון

לשחק עם לוח גלטון עוד הפעלה של נפילת הכדורים.

שני סרטוני הוראה של התפלגות בינומיאלית בעזרת כדור הנופל בלוח גלטון.

 

קישורים

לוח גלטון – יחידה אינטראקטיבית המלווה צעד אחר צעד את חישובי הסתברויות של נפילת כדור בלוח גלטון, התרשמות מגרף השכיחויות שבמספרים גדולים מתאר התפגות בינומית, עיסוק במשפט המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי.

יחידה מתוקשבת בנושא הסתברות למורים, הכוללת סרטים ויישומים אינטראקטיביים, ובה רקע על מדע ההסתברות, סקירה היסטורית, בחינת המשפט של המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי, חקר של משחקי מזל ויישומיהם והרחבה על מודל הסתברותי להבנת פקקי תנועה כמו גם שוק המניות. ביחידה חקר המשחק המבוך של גלטון כהמחשה של הנושאים הללו. מומלץ לצפות בהרצאה המסכמת.

יחידה מס 8: משולש פסקל, מצויינות ויצמן כוללת שתי חידות בשימוש עם מכונת גלטון.

יופיה של המתמטיקה – הסתברות, מצגת מאת גיל קלעי והרצאה מצולמת.

מוצג לא נורמלי (או בעצם כן נורמלי) – פוסט מאת "אבא יש רק אחד", תיאור חוויתי במוזיאון המדע בבוסטון בו מוצג לוח גלטון.

משחק הפינבול, מתוך סביבת הלימוד על "מוזיאון הכאוס הוירטואלי", של סנונית. חומר להעשרה.

יישום דינאמי של לוח גלטון מאת PHET

יישום דינאמי ללוח גלטון מאת math is fun.   

משולש פסקל בויקיפדיה
 
 
 
לדמיין את המספרים המדומים

נדמיין את המספרים המדומים http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/12.png

הפיצוח בנושא המספרים המרוכבים, שורשים מדומים של משוואה ריבועית. חשבתם פעם האם ניתן לראות את השורשים המרוכבים של משוואה ריבועית בעזרת גרף הפרבולה? השורשים הממשיים של פונקציה ריבועית הם נקודות האפס של הפרבולה, אך היכן מסתתרים השורשים המרוכבים. נתבונן בפונקציות ריבועיות בהצגה הקודקודית (הצורה המוזזת), בעזרת יישום דינאמי בגאוגברה,  ונגלה שיטה פשוטה לאתר את השורשים של הפרבולה במישור המרוכב.

 

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 


 


תגים:  מספרים מרוכבים מדומים קומפלקסים שורשים פרבולה משוואה ריבועית יישום דינאמי
 
לדמיין את המספרים המדומים

נדמיין את המספרים המדומים http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/12.png

הפיצוח בנושא המספרים המרוכבים, שורשים מדומים של משוואה ריבועית. חשבתם פעם האם ניתן לראות את השורשים המרוכבים של משוואה ריבועית בעזרת גרף הפרבולה? השורשים הממשיים של פונקציה ריבועית הם נקודות האפס של הפרבולה, אך היכן מסתתרים השורשים המרוכבים. נתבונן בפונקציות ריבועיות בהצגה הקודקודית (הצורה המוזזת), בעזרת יישום דינאמי בגאוגברה,  ונגלה שיטה פשוטה לאתר את השורשים של הפרבולה במישור המרוכב.

 

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 


 


תגים:  מספרים מרוכבים מדומים קומפלקסים שורשים פרבולה משוואה ריבועית יישום דינאמי
 
לדמיין את המספרים המדומים
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
לדמיין את המספרים המדומים
 
 
 בפעילות זו נחפש את הקשר בין השורשים המרוכבים של משוואה ריבועית לגרף הפרבולה שלה. היעזרו ביישום הדינאמי
 

א. נתונה הפונקציה:

  1. מהם הפתרונות של המשוואה: ?
  2. מהו קדקוד הפרבולה? מהו ציר הסימטריה?
  3. תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.

  

 

ב. נתונה הפונקציה: .

  1. מהם הפתרונות של המשוואה: ? כמה פתרונות ממשיים שונים?
  2. תארו את מיקום השורשים הממשיים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.
 
   

ג. נתונה הפונקציה: .

  1. מהם הפתרונות הממשיים של המשוואה ?
  2. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה?
  3. מצאו את השורשים המרוכבים של המשוואה.
  4. תארו את מיקומם של השורשים המורכבים ביחס לציר הסימטריה והקדקוד.
 
   
ידוע לנו כי למשוואה ריבועית זו, אשר הפרבולה שלה "מרחפת", שני שורשים מרוכבים. אך השאלה היכן הם? ומדוע לא נוכל לראות אותם על הגרף? באופן מפתיע, אנו נמצא דרך פשוטה לאתר את השורשים בעזרת גרף הפרבולה וגרף נוסף שנקרא לו "האחות של הפרבולה". נזכור כי במישור המרוכב, ציר ה-x מייצג את החלק הממשי של המספר וציר ה-y מייצג את החלק המדומה.
   

ד. נתונה משפחת הפונקציות: .

  1. הציגו ביישומון את שורשי המשוואה . מה ניתן לומר על שני השורשים המרוכבים ועל מיקומם ביחס לציר הסימטריה?
  2. שנו את הערך k ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת k את שורשי המשוואה .
  3.  שנו את הערך p ובדקו כיצד משתנים שורשי המשוואה. הביעו בעזרת p את שורשי המשוואה .
  4. הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.
  5. הביעו בעזרת k ו-p את שורשי המשוואה . הוכיחו אלגברית.
   

ה. ניצור את גרף "האחות של הפרבולה" בעזרתו נאתר את מיקום השורשים המרוכבים.

שקפו את הפרבולה ביחס לישר y=4 וקבלו את גרף "האחות של הפרבולה". תארו את הגרף שלה ותנו ביטוי אלגברי למשוואתה.

 
   
ו. מה ניתן לומר על ארבעת השורשים של שתי הפרבולות האחיות?  
   

 

ז. הסבירו את התהליך של מציאת השורשים המרוכבים ביחס לגרף הפרבולה, וחזרו על התהליך עבור המשוואה : .

ח. הביעו את שורשי המשוואה ואת שורשי משוואת הפרבולה האחות, בעזרת a,k,p. הוכיחו באופן אלגברי את הקשר בין השורשים.

 

 
מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים
סרטון מרהיב, החמישי בסידרה "מימדים", בו מציג בפנינו המתמטיקאי הצרפתי אדריאן דואדי את הצד הגיאומטרי של המספרים המרוכבים, וכיצד ניתן לראות את המישור הממשי כישר מרוכב.
   

קישורים נוספים בנושא מספרים מרוכבים

הצעת פתיחה לנושא מספרים מרוכבים –גילה רון. הצגה יצירתית וקצת אחרת של המספרים המרוכבים.

בסיס אינטואיטיבי למשפט היסודי של האלגברה - מובשוביץ-הדר, זסלבסקי ושמוקלר, על"ה

בשביל מה אנחנו לומדים על מספרים מרוכבים ומה עושים עם זה? שלמה יונה

מספרים מרוכבים - חוברת עזר בנושא מספרים מרוכבים שנכתבה על ידי שלמה מלמן

מספרים מורכבים - הרחבה מתמטית – אלקטרואופטיקה- רשת אורט

כיצד נולדו המספרים? מצגת הסוקרת את ההתפתחות ההיסטורית המספרים עד להופעת המרוכבים.

 

יישומונים

השורשים מסדר n

פעולות שונות במספרים מכוונים בייצוג הגרפי –cut the knot

Location of Complex Roots of a Real Quadratic – יישום של wolfram המציג את שורשי המשוואה הריבועית בתלת מימד.

 

סרטונים

מורה פרטי 5 יח': מספרים מרוכבים א' – שיעור VOD מאת הטלוויזיה החינוכית

מימדים – פרק 5 – מספרים מרוכבים

המשוואה של בטמן - Batman Equation - Numberphile

 
 
 
גלגלי המזל

גלגלי המזל  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/8-11.png

הפיצוח בנושא הסתברות כולל יישום אינטראקטיבי (מתוך NRICH) של גלגלי מזל שונים (רולטה) .בפיצוח מספר פעילויות לחקירת ההסתברות של אירועים דו שלביים ויותר. בפיצוח חקירה של הקשר בין הסתברות ניסויית, בה חוזרים שוב ושוב על הניסוי ויוצרים טבלת שכיחויות וגרף עמודות, לבין הסתברות תיאורטית.

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 

 


תגים:  הסתברות ניסוי בהסתברות טבלת שכיחויות גרף עמודות אירוע דו שלבי
 
גלגלי המזל

גלגלי המזל  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/8-11.png

הפיצוח בנושא הסתברות כולל יישום אינטראקטיבי (מתוך NRICH) של גלגלי מזל שונים (רולטה) .בפיצוח מספר פעילויות לחקירת ההסתברות של אירועים דו שלביים ויותר. בפיצוח חקירה של הקשר בין הסתברות ניסויית, בה חוזרים שוב ושוב על הניסוי ויוצרים טבלת שכיחויות וגרף עמודות, לבין הסתברות תיאורטית.

תגובות (0)

 

 

 

 

 

 

 

 


תגים:  הסתברות ניסוי בהסתברות טבלת שכיחויות גרף עמודות אירוע דו שלבי
 
גלגלי המזל - משחקי התאמה
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
גלגלי המזל | دواليب الحظ
 
גלגלי המזל - משחקי התאמה

 היישומון "גלגל המזל" – nrich        הדרכה

Inline Frames

3. משחק התאמה

לפניכם שלושה זוגות של גלגלי מזל שיצרו את ארבעה גרפי עמודות.
התאימו לכל זוג של גלגלי מזל את גרף העמודות המתאים לו. (שימו לב, האם מדובר בסכום או הפרש המספרים)

1.

2.

3.

 


 

 




4. גלגלי המזל בעדליידע
ביריד העדליידע יצרו זוגות שונים של גלגלי מזל מתוך הגלגלים מטה. באפשרותכם לבחור מתוכם זוג גלגלי מזל ולשחק את המשחק כאשר מספר המטרה הוא סכום המספרים שהגרלתם או הפרשם. אך גרפי העמודות השייכים לכל זוג התבלבלו... מי שייך למי?
 

   


 

5. קישורים

פעילויות נוספות

משחקי מזל בחנוכה – בפיצוח בעיות ברמות קושי שונות בהסתברות. בבעיה הראשונה משחק בו ניתן להתנסות עם יישום אינטראקטיבי.

פעילויות בהסתברות וייצמן: משחק הגלגל , משחק 2 עד 8 , זהירות 7 בדרך!

אי ודאות - משימות אוריינות, האגף לפיתוח תוכניות לימודים

מראשיתה של תורת ההסתברות – פרופ' אביטל , הסבר על מושג ההסתברות, ראשיתה של תורת ההסתברות בתקופת המתמטיקאים בליז פסקל ופייר פרמה ושימוש בה במשחקי מזל.

בעיה בהסתברות – והצעה לפתרונה באופן גרפי, גליונות לחשבון, פרופ' אביטל.

 

משחקים

"תפוס את הדג" - משחק לתרגול ולחשיבה בהסתברות מאת ה- BBCבשלוש רמות שונות. תמצאו שם דגים צהובים ואדומים באקווריום. ברמה הקלה יש לחשב את ההסתברות להוציא דג אדום, ובשתי הרמות הגבוהות יותר יש להוסיף או להוריד דגים כדי לקבל הסתברות נתונה. (בהמלצת מיכל מדמון)

סולמות ונחשים – שחקו בסולמות ונחשים, משחק אינטראקטיבי, עם גלגלי מזל (רמה 1) או שתי קוביות (רמה 2) וחקרו מה ההסתברות שלכם לטפס במעלה הלוח. הפעילות כוללת גם דפי עבודה , פתרונות ולוח משחק להדפסה. פעילות מאת Math Interactivities

משחקי מזל ביריד – משחק אינטרנטי (מותאם גם ל-IPAD) בו מספר שלבים. המטרה לזכות בכמה שיותר כרטיסים במשחקים בהם יש לחשב הסתברויות ברמות שונות. הכרטיסים יזכו אותך בכניסה ליריד בו עוד חמישה משחקי הסתברות שונים.

 

יישומונים להסתברות ניסויית

אוסף כלים אינטראקטיביים להגרלה – מטבע, קובייה, קלפים וגלגלי מזל. ניתן לבצע את ניסוי ההגרלה שוב ושוב ולראות את ההתאמה בין ההסתברות הניסויית להסתברות התיאורטית.

כלי אינטראקטיבי לבניית גלגל מזל צבעוני

Virtual Spinner - גלגל מזל אינטראקטיבי – יישומון בו ניתן לעצב את גלגל המזל ולהגריל מספר.

Virtual Dice – קובייה אינטראקטיבית - יישומון בו ניתן לבחור מספר קוביות ולהגריל מספרים.  

 

סרטונים בהסתברות

מהי ההסתברות למפולת שלגים? - סרטון ופעילות אינטראקטיבית לחקר ההבדל בין הסתברות ניסויית והסתברות תיאורטית והצגתן בגרף עמודות או טבלת שכיחות יחסית. מלווה בדף עבודה.

מהי ההסתברות למצוא דרכך במדבר? – סרטון אנימציה משעשע, תלת מימד, המסביר בפשטות והומור מושגי יסוד בהסתברות. 

 



גלגלי המזל - חזרה להתחלה
 
גלגלי המזל
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
גלגלי המזל | دواليب الحظ 
 
גלגלי המזל


1. "גלגל אותה" פעילות אינטראקטיבית עם גלגל מזל, רולטה
2. בואו נתכנן גלגלי מזל
3. משחק התאמה בין גלגלי המזל וגרף העמודות- רמה קלה.
4. גלגלי המזל בעדליידע - משחק התאמה בין גלגלי המזל וגרף העמודות - רמה בינונית
5. קישורים לפעילויות ומשחקים בנושא הסתברות


 

1."גלגל אותה"

במשחק "גלגל אותה" שני גלגלי מזל, הממוספרים מ- 1 עד 4. באפשרותכם לחבר או לחסר את שני המספרים. מספר המטרה שלכם הוא 3.

א. מהן כל האפשרויות לניצחון במשחק? כמה אפשרויות יש?

ב. מה לדעתכם הסיכוי לנצח במשחק? האם תבחרו בחיבור או בחיסור המספרים?


 היישומון "גלגל המזל" – nrich        הדרכה

Inline Frames

ג. נסו את מזלכם בגלגל המזל.. סובבו ביישום האינטראקטיבי את שני גלגלי המזל וחברו את המספרים שהגרלתם.

     1. שחקו משחקון אחד, האם ניצחתם? שחקו 10 משחקונים, בכמה משחקונים ניצחתם?
         הריצו את המשחק 100 משחקונים. בכמה משחקונים ניצחתם?

     2. איזה סכומים ניתן לקבל? איזה סכום הוא בעל הסיכוי הקטן ביותר להתקבל?
         ואיזה סכום הוא בעל הסיכוי הגדול ביותר להתקבל?

     3. התבוננו בגרף העמודות, והסבירו מה מתארת כל עמודה.

     4. אם ניתנה לכם האפשרות לבחור במספר מטרה סכום לניצחון, איזה מספר הייתם בוחרים?

ד. נסו שוב את מזלכם בגלגל המזל.. סובבו ביישום האינטראקטיבי את שני גלגלי המזל וחסרו את המספרים שהגרלתם.

     1. שחקו משחקון אחד, האם ניצחתם? שחקו 10 משחקונים, בכמה משחקונים ניצחתם?
         הריצו את המשחק 100 משחקונים. בכמה משחקונים ניצחתם?

     2. איזה הפרשים ניתן לקבל? איזה הפרש הוא בעל הסיכוי הקטן ביותר להתקבל?
         ואיזה הפרש הוא בעל הסיכוי הגדול ביותר להתקבל?

     3. התבוננו בגרף העמודות, והסבירו מה מתארת כל עמודה.

     4. אם ניתנה לכם האפשרות לבחור במספר מטרה הפרש לניצחון, איזה מספר הייתם בוחרים?  

 מעובד על פי פעילות באתר Nrich


2. בואו נתכנן גלגלי מזל

א. בנו שני גלגלי מזל בהם הסיכוי לקבל סכום זוגי שווה לסיכוי לקבל סכום אי זוגי? הציעו זוגות שונים של גלגלי מזל.

ב. בנו שני גלגלי מזל בהם הסיכוי לקבל סכום זוגי גדול מהסיכוי לקבל סכום אי זוגי?

ג. בנו שני גלגלי מזל בהם הסיכוי לקבל הפרש זוגי שווה לסיכוי לקבל הפרש אי זוגי?




גלגלי המזל - המשך  

 

 
פרבולה בתנועה

פרבולה בתנועה http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

פיצוח ובו סרטונים, בהם מתוארת תנועה של פרבולה לפי תבנית אלגברית תוך שינוי פרמטר יחיד. המשימה למצוא את תבנית הפונקציה הריבועית המתאימה בייצוג המתאים.

תגובות (0)




 

 

 

 





 


תגים:  פונקציה ריבועית פרבולה הצגה קודקודית הזזה הצגה כמכפלה הצגה סטנדרטית מסלול הקודקוד
 
פרבולה בתנועה

פרבולה בתנועה http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png

פיצוח ובו סרטונים, בהם מתוארת תנועה של פרבולה לפי תבנית אלגברית תוך שינוי פרמטר יחיד. המשימה למצוא את תבנית הפונקציה הריבועית המתאימה בייצוג המתאים.

תגובות (0)




 

 

 

 





 


תגים:  פונקציה ריבועית פרבולה הצגה קודקודית הזזה הצגה כמכפלה הצגה סטנדרטית מסלול הקודקוד
 
פרבולות בתנועה
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
פרבולות בתנועה | פתרונות
 
 
א. צפו בפרבולה המתנועעת בכל אחד מהסרטונים.
מצאו מהי התבנית האלגברית, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרת את תנועת הפרבולה. שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.

1. הפרבולה מטפסת על מגדל

2. הפרבולה בים

3. לטפס על קשת בענן (ישר)

4. שתי פרבולות בתנועה זו אל זו

5. הפרבולה מתגלגלת על הקשת (פרבולה)

 

ב. צפו בריקוד הפרבולות בסרטון הבא.

מצאו מהי התבנית האלגברית של כל אחת מארבע הפרבולות, עם פרמטר אחד בלבד, שיוצרות את תנועתן.
שימו לב באיזה ייצוג של הפונקציה הריבועית כדאי להשתמש.

 

ג. צפו במסלול קודקוד הפרבולה .

תארו מהו מסלול קודקוד הפרבולה כאשר משנים את הפרמטר b בתבנית.
נמקו והוכיחו את השערתכם.  

 

ועוד פונקציות בתנועה:

כיתה רוקדת את ריקוד הפרבולות – צעדי הריקוד הם פונקציות! מאת איתן לירון.

ריקוד הפונקציות – מצגת מלווה במוסיקה בה צעדי ריקוד של פונקציות, מקור TES , רשת מורים אנגלית.

Angry birds - יישום המבוסס על המשחק הפופולרי. על התלמיד להתאים את הפונקציה הריבועית המתאימה למסלול.

המזרקה – יישום דינאמי בו יש להתאים פונקציה ריבועית לתמונה נתונה של פרבולות (כמזרקה), על ידי שינוי הפרמטרים בהצגה הקודקודית.  

  
 
ממוצעי פיתגורס ועוד
 

ממוצעי פיתגורס ועוד    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-11.png 

הפיצוח "ממוצעי פיתגורס ועוד" מציג ארבעת הממוצעים השימושיים ביותר בין שני מספרים: הממוצע החשבוני, הגיאומטרי, ההרמוני והריבועי.
בפיצוח הכרות עם הממוצעים הללו והשימוש בהם, וכן הוכחות ויזואליות לאי שוויונות ביניהם. שתי השאלות הראשונות קלות יותר ודורשות ידע אלגברי וגיאומטרי של כיתה ט.
שתי השאלות האחרונות, שאלות מתקדמות יותר בגיאומטריה ומתאימות לכיתות י' וי"א.

תגובות (0)

  















 
ממוצעי פיתגורס ועוד
 

ממוצעי פיתגורס ועוד    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-11.png 

הפיצוח "ממוצעי פיתגורס ועוד" מציג ארבעת הממוצעים השימושיים ביותר בין שני מספרים: הממוצע החשבוני, הגיאומטרי, ההרמוני והריבועי.
בפיצוח הכרות עם הממוצעים הללו והשימוש בהם, וכן הוכחות ויזואליות לאי שוויונות ביניהם. שתי השאלות הראשונות קלות יותר ודורשות ידע אלגברי וגיאומטרי של כיתה ט.
שתי השאלות האחרונות, שאלות מתקדמות יותר בגיאומטריה ומתאימות לכיתות י' וי"א.

תגובות (0)

  















 
ממוצעי פיתגורס ועוד
 

ממוצעי פיתגורס ועוד    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-11.png 

הפיצוח "ממוצעי פיתגורס ועוד" מציג ארבעת הממוצעים השימושיים ביותר בין שני מספרים: הממוצע החשבוני, הגיאומטרי, ההרמוני והריבועי.
בפיצוח הכרות עם הממוצעים הללו והשימוש בהם, וכן הוכחות ויזואליות לאי שוויונות ביניהם. שתי השאלות הראשונות קלות יותר ודורשות ידע אלגברי וגיאומטרי של כיתה ט.
שתי השאלות האחרונות, שאלות מתקדמות יותר בגיאומטריה ומתאימות לכיתות י' וי"א.

תגובות (0)

  















 
מרובע שכזה
 

מרובע שכזה    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png 

פיצוח העוסק בתכונות מרובעים שאלכסוניהם מאונכים.
בשאלה הראשונה חוקרים את המרובעים השונים ואת שטחיהם, תוך קיפולי נייר ושימוש ביישום דינאמי.
בבעייה השנייה מחפשים מעוין החסום במלבן. בעיה זו דורשת הכרות עם תכונות המרובעים ובפרט המעוין וכן שימוש במשפט פיתגורס ובאלגברה.

 

תגובות (0)

  




 

 

 













 


תגים:  מעוין דלתון תכונות המרובעים
 
מרובע שכזה
 

מרובע שכזה    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png 

פיצוח העוסק בתכונות מרובעים שאלכסוניהם מאונכים.
בשאלה הראשונה חוקרים את המרובעים השונים ואת שטחיהם, תוך קיפולי נייר ושימוש ביישום דינאמי.
בבעייה השנייה מחפשים מעוין החסום במלבן. בעיה זו דורשת הכרות עם תכונות המרובעים ובפרט המעוין וכן שימוש במשפט פיתגורס ובאלגברה.

תגובות (0)

  















 
ממוצעי פיתגורס ועוד
 

ממוצעי פיתגורס ועוד    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-11.png 

הפיצוח "ממוצעי פיתגורס ועוד" מציג ארבעת הממוצעים השימושיים ביותר בין שני מספרים: הממוצע החשבוני, הגיאומטרי, ההרמוני והריבועי.
בפיצוח הכרות עם הממוצעים הללו והשימוש בהם, וכן הוכחות ויזואליות לאי שוויונות ביניהם. שתי השאלות הראשונות קלות יותר ודורשות ידע אלגברי וגיאומטרי של כיתה ט.
שתי השאלות האחרונות, שאלות מתקדמות יותר בגיאומטריה ומתאימות לכיתות י' וי"א.

תגובות (0)

  





 












 


תגים:  ממוצע חשבוני ממוצע גיאומטרי ממוצע הרמוני ממוצע ריבועי הוכחה ללא מילים אי שוויון הממוצעים
 
מרובע שכזה
 

מרובע שכזה    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/9-10.png 

פיצוח העוסק בתכונות מרובעים שאלכסוניהם מאונכים.
בשאלה הראשונה חוקרים את המרובעים השונים ואת שטחיהם, תוך קיפולי נייר ושימוש ביישום דינאמי.
בבעייה השנייה מחפשים מעוין החסום במלבן. בעיה זו דורשת הכרות עם תכונות המרובעים ובפרט המעוין וכן שימוש במשפט פיתגורס ובאלגברה.

תגובות (0)

  















 
מרובע שכזה - איזהו המעוין החסום במלבן
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
מרובע שכזה | פתרון
شكل شكل رباعي كهذا
 
 

במלבן ABCD חסום מרובע APCQ.

1. הזיזו את נקודות Q ו-P ביישום הדינאמי ומצאו את מיקומן כך שהמרובע APCQ יהיה:

א. מקבילית. כמה מקביליות יתכנו?

ב. מעוין. כמה מעוינים יתכנו?

ג. רשמו מהו התנאי לכך שהמרובע יהיה מקבילית? שיהיה מעוין?

 

2. ברשותכם מלבן שמידותיו 3x6 סמ"ר.

א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן. (רמז – זוכרים את משפט פיתגורס?)

ב. חשבו מהו היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. שנו ביישום הדינאמי את גובה המלבן (גררו את הנקודה C). האם עדיין המרובע החסום הוא מעוין? האם השתנה יחס השטחים? הסבירו.

 

3. ברשותכם נייר מדפסת A4 (אשר יחס צלעות המלבן שלו הן )

א. חשבו את אורך צלע המעוין החסום במלבן.

ב. חשבו את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. לפניך נייר בגודל A4.

הסתמכו על תכונות המעוין והראו כיצד ניתן לקפלו כך שיהיה חסום בתוכו מעוין.

 

4. ברשותכם מלבן שמידותיו axb סמ"ר.

א. הביעו בעזרת a ו-b את אורך צלע המעוין החסום במלבן.

ב. הביעו בעזרת a ו-b את היחס בין שטח המעוין לשטח המלבן.

ג. הראו בדרך אלגברית ובדרך גיאומטרית כי קיים מעוין אחד בלבד החסום במלבן.

 
 
הקודם: מרובע שכזה - שאלכסוניו מאונכים
 
ממוצעי פיתגורס ועוד
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
ממוצעי פיתגורס ועוד | פתרון
حلول
ממוצעי פיתגורס ועוד
  
 

האגדה מספרת שפיתגורס, המתמטיקאי היווני הנודע מימי יוון הקדומה ( 500 לפנה"ס), עבר פעם ליד חרש ברזל והתאהב בצלילי דפיקות הפטיש שהיו נעימים לאוזנו. הוא בדק ומצא, כי משקלי הפטישים היו 6, 8, 9, ו-12 ק"ג. היחסים בין משקלי הפטישים הפיקו צלילים הרמוניים.

 מה מיוחד כל כך במספרים אלה? שאל.

הוא מצא כי הממוצע החשבוני בין 6 ל-12 הוא  

ואילו הממוצע ההרמוני בין 6 ל-12 הוא  

  
פיתגורס בדק גם כלי פריטה וגילה שקיים קשר מתמטי בין אורך המיתר, שעליו פורטים, ובין גובה הצליל: כשמתקיים יחס מסוים בין אורכי המיתרים, נוצרת הרמוניה בין הצלילים. כך הפך פיתגורס לראשון שהראה כי יש קשר הדוק בין מדע מדויק לבין מוסיקה.
 


 

1. מהירות ממוצעת

א. לטיול השנתי נסענו באוטובוס בכביש המהיר. בשל עומס כבד בתנועה נסע האוטובוס לאיטו במהירות של 40 קמ"ש חצי מהדרך. ובחצי השני של הדרך הצליח להגביר את מהירותו ל-80 קמ"ש. האם מהירותו הממוצעת בדרך כולה הייתה 60 קמ"ש? יותר, או פחות?

ב. באיזו מהירות היה צריך האוטובוס לנסוע בחצי הדרך השנייה בכדי שמהירותו הממוצעת תהיה 80 קמ"ש?

ג. מכונית עברה דרך של 40 ק"מ במהירות ממוצעת של 40 קמ"ש. מה צריכה להיות מהירותה הממוצעת ב-40 הק"מ הבאים כדי שמהירותה הממוצעת לאורך כל 80 הק"מ תהיה 80 קמ"ש?

 

2. ממוצעים בין מלבן וריבוע

נתון מלבן שמידותיו x ו-y. נשאל את עצמנו שאלות אחדות:

א. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיקפו ישווה להיקף המלבן?

ב. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע ששטחו ישווה לשטח המלבן?

ג. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שאלכסונו ישווה לאלכסון המלבן?

ד. מה צריך להיות אורך צלע הריבוע שהיחס בין שטחו להיקפו ישווה ליחס בין שטח והיקף המלבן?

 

הידעתם?

כאשר חוקרים את תפקודם הביולוגי של גופים חיים יש חשיבות עיקרית לא לנפח הגוף בפני עצמו, או לשטח חיצוני של הגוף בפני עצמו, אלא ליחס שבין הנפח לשטח הגוף. באותה מידה בצורות שטוחות יש חשיבות ליחס שבין שטח הצורה להיקפה. למשל, מדינה שקו הגבול שלה ארוך מאוד ביחס לשטחה יש לה בעיות ביטחוניות מסובכות. באיזה ממוצע כדאי להשתמש?

 

3. מי גדול יותר?

נכיר ארבעה ממוצעים בין שני מספרים a ו- b הנפוצים ביותר.
שלושת הראשונים נקראים ממוצעי פיתגורס.

 
א. חשבו את ארבעת הממוצעים השונים בין המספרים 4 ו-12 ובין 9 ו-16.
סדרו את הממוצעים על פי גודלם.
בדקו ביישום הדינאמי.
 
ב. הסבירו על פי האיור הבא מדוע הממוצע החשבוני גדול מן הממוצע הגיאומטרי.
 

ג. הסבירו על פי היישום הדינאמי מדוע האורכים A, G ו-H הם שלושת ממוצעי פיתגורס של האורכים a ו-b.
מי גדול ממי?

ד. הוכיחו כי:

 

ה. הוכיחו באיור כי:

ו. סדרו את ארבעת הממוצעים על פי גודלם.

 

4. ארבעה ממוצעים בטרפז
 

הוכיחו כי:

1. קטע אמצעים בטרפז שווה לממוצע החשבוני של בסיסי הטרפז.

2. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים דומים שווה לממוצע הגיאומטרי של בסיסי הטרפז.

3. קטע מקביל בטרפז העובר דרך מפגש אלכסוניו שווה לממוצע ההרמוני של בסיסי הטרפז.

4. קטע מקביל לבסיסי הטרפז המחלק לשני טרפזים שווי שטח, שווה לממוצע הריבועי של בסיסי הטרפז.

 
 

מקורות והרחבה: 

שלושת הממוצעים – פרופ' אביטל - גליונות לחשבון מס 7

על ממוצעים שונים – פרופ' אביטל – גליונות לחשבון מס 62

ממוצעים ומוסיקה – מייקל נ. פריד – על"ה 30, 2003

שבעה ממוצעים שונים בטרפז – נתן ויזדום - אוניברסיטת ג'ורג'יה

הוכחות ויזואליות ללא מילים (כמעט) - אורית זסלבסקי, גרייסי ויניצקי.  

 
בתנועה מתמדת

בתנועה מתמדת    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/8-11.png 

הפיצוח מציג בעיות וחידות בנושא תנועה ודרך ומציג באופן דינאמי ואינטראקטיבי את יתרונות הייצוג הגרפי לפיתרונן.

תגובות (0)



תגים:  בעיות תנועה פתרון גרפי
 
בתנועה מתמדת

בתנועה מתמדת    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/8-11.png 

הפיצוח מציג בעיות וחידות בנושא תנועה ודרך ומציג באופן דינאמי ואינטראקטיבי את יתרונות הייצוג הגרפי לפיתרונן.

תגובות (0)



תגים:  בעיות תנועה פתרון גרפי
 
בתנועה מתמדת
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
בתנועה מתמדת
 
   
1. שני חברים יצאו לדרך, בים בם בום....

תמי וניר שכנים בבית משותף ולומדים באותה כיתה. כל בוקר הם יוצאים יחדיו ברגל מביתם בשביל המוביל לבית הספר. יום אחד הם התחילו ללכת ביחד באותו קצב (v1).

ניר המשיך ללכת באותה המהירות מחצית מהזמן ולאחר מכן הלך במהירות איטית יותר (v2) עד הגיעו לבית הספר. לעומתו תמי המשיכה באותה מהירות חצי מהדרך (v1), ובמחצית השנייה של הדרך, האטה והלכה במהירות האיטית של ניר (v2).

   

א. התוכלו לקבוע מי הגיע ראשון לבית הספר?

ב. אם היו תמי וניר מתחילים במהירות איטית יותר, ולאחר מכן מגבירים את הקצב.
   מי אז היה מגיע ראשון לבית הספר ?

הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.

 
2. ארבעה כלי רכב יצאו לדרך

אופניים, טרקטור, אופנוע ומכונית נסעו בכביש דו סטרי, כל אחד מהם במהירות קבועה משלו.

המכונית עקפה את הטרקטור בשעה 12:30 , חלפה על פני האופניים בשעה 13:00 ופגשה את האופנוע בשעה 13:30. האופנוע פגש את הטרקטור ב- 13:45 וחלף על פני האופניים בשעה 14:15.

   

     
 באיזו שעה נפגשו האופניים והטרקטור?

הנחיה – תארו את הבעיה במערכת צירים והיעזרו ביישום הדינאמי.
הוכיחו את טענתכם גם באופן אלגברי.

Inline Frames
 
3. חידת הנזיר 
    

נזיר הינדי יצא מכפרו עם שחר והחל לטפס לאיטו בשביל התלול, המוליך אל המנזר שעל פסגת ההר. הנזיר הספיק להגיע למנזר, לתפילה בשעת השקיעה.

למחרת עם שחר, בדיוק באותה שעה, שהחל לטפס ביום קודם, יצא הנזיר מהמנזר והחל יורד במהירות אל הכפר לאורך אותו שביל. הוא עצר למנוחת צהריים במעיין והמשיך והגיע אל ביתו בכפר בשעת השקיעה.

האם יתכן כי בשני הימים היה מקום שאליו הגיע הנזיר בדיוק באותה שעה גם בעלייה וגם בירידה?

 
מקורות:
 
• "שאלות מילוליות במשתנה אחד בגישה הגרפית" ,שוש גלעד, הוצאת מט"ח, 2000
nrich
 


פיצוחים נוספים בנושא בעיות תנועה:

מרוץ מכוניות דינאמי
- בפיצוח הפנייה לסימולציה של בעיית תנועה, למאמר העוסק בסגנונות למידה שונים, ובעיות תנועה רבות בספר האלקטרוני "לראות מתמטיקה- פונקציות" של מטח.

בעיות בתנועה בדרך אחרת - הפיצוח עוסק בפתרון בדרכים לא שגרתיות של בעיות תנועה ברמה של 4-5 יח"ל. התנועה מתוארת בגרפים של פונקציות, וסיפור הבעיה ופתרונו נקרא מתוך הגרף.

בעיית תנועה - כוונים מנוגדים - עיבוד של שאלת בגרות ברמת 3 יח"ל, מתוך מאגר היישומים הדינאמיים.

מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר – בעיות תנועה מתוך מציאות האולימפיאדה. שימו לב כי הבעיות מנוסחות קצת אחרת מספרי הלימוד, ובחלקן יש להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.


 
על כנפי הדמיון - חלק ב'
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
על כנפי הדמיון - ב' |
 2. מן הפנים אל החוץ                       

א. נתונות שלוש נקודות A, B, C שהן אמצעי הצלעות של משולש כלשהו, אך המשולש המקורי עצמו
(DEFD) נעלם.
 בדקו ביישום הדינאמי האם וכיצד ניתן ליצור את משולש DEFD:

 

- האם תמיד ניתן לבנות את המשולש על פי אמצעי צלעותיו?
- כיצד ניתן לבנות את המשולש המקורי? תארו את הבנייה ונמקו.
- האם קיים רק משולש אחד כזה?
- בהינתן שיעורי נקודות האמצע, התוכלו למצוא את שיעורי קודקודי המשולש המקורי.

 

 
 ב. נתונות ארבע נקודות A, B, C, D שהן אמצעי הצלעות של מרובע כלשהו, אך המרובע המקורי עצמו
(EFGH) נעלם.
 בדקו ביישום הדינאמי האם וכיצד ניתן ליצור את המרובע EFGH:

 

- האם תמיד ניתן לבנות את המרובע על פי אמצעי צלעותיו? אם כן, באיזה תנאי?
- כיצד ניתן לבנות את המרובע המקורי? תארו את הבנייה ונמקו.
- האם קיים רק מרובע אחד כזה?

 

 
 ג. האם וכיצד ניתן לבנות מחומש מחמש הנקודות של אמצעי הצלעות?
האם וכיצד ניתן לבנות משושה משש הנקודות של אמצעי הצלעות?



על כנפי הדמיון - חלק א'
 
מרוץ הפאי
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים

 מרוץ הפאי  

 


בבית ספרנו חוגגים את יום הפאי במרוץ מסורתי.
מגרש בית הספר בנוי ממלבן עליו בנויים שני חצאי מעגלים. המגרש מכיל ששה מסלולי ריצה כל מסלול ברוחב של מטר אחד.

 
 

א. אורך המסלול החיצוני הוא 400 מטר.
רוחב המלבן הוא 100 מטר. (ראו איור).
חשבו את מימדי מגרש בית הספר.

 
ב. מהו היקף מסלול הריצה הפנימי?
  • ג. במרוץ הפאי רצים המתחרים 800 מ'.
    רוני הגריל את מסלול הריצה החיצוני ואילו חברו הטוב ירדן, קיבל מקום במסלול הפנימי ביותר.
    כולם התכוננו למרוץ ונעמדו בנקודות הזינוק.
    בכמה מטרים קדימה נמצאת נקודת הזינוק של רוני לעומת נקודת הזינוק של ירדן?
 
 
 
מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר

 

מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/8-11.png 

לקראת האולימפיאדה הקרובה בלונדון, בקיץ 2012, בעיות תנועה מתוך מציאות האולימפיאדה. שימו לב כי הבעיות מנוסחות קצת אחרת מספרי הלימוד, ובחלקן יש להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.
פעילות נוספת מתוך הפיצוח יום פאי שמח: "מרוץ הפאי".

תגובות (1)

Sample Image



תגים:  בעיות תנועה בעיות דרך אלגברה אורינות ספורט אולימפיאדה מהירות
 
מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר

 

מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/8-11.png 

לקראת האולימפיאדה הקרובה בלונדון, בקיץ 2012, בעיות תנועה מתוך מציאות האולימפיאדה. שימו לב כי הבעיות מנוסחות קצת אחרת מספרי הלימוד, ובחלקן יש להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.
פעילות נוספת מתוך הפיצוח יום פאי שמח: "מרוץ הפאי".

תגובות (0)

Sample Image



תגים:  בעיות תנועה בעיות דרך אלגברה אורינות ספורט אולימפיאדה מהירות
 
מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר | פתרונות
מהר יותר, גבוה יותר וחזק יותר
בעיות תנועה באולימפיאדה
   
שימו לב כי בחלק מהבעיות עליכם להניח הנחות שאינן נתונות בשאלה, או לחפש נתונים שלא מופיעים בה.

   במשחקים האולימפיים ב-2008, דרישות הסף לריצת 100 מטר לנשים הייתה 11.32 שניות. כיצד תוכלו להשוות מהירות זו למהירות של מכונית ?
  באולימפיאדת בייג'ינג ב-2008, זכתה האצנית שלי-אן פרייזר מג'מייקה, בריצת 100 מטר לנשים, בזמן של 10.78 שניות. אם היא הייתה ממשיכה לרוץ עוד 100 מטרים, בכמה היא הייתה משיגה אצנית שעמדה בתנאי הסף (11.32 שניות) ?
  דמיינו כי אתם מתחרים בריצת 200 מטר עם יוסיין בולט. בכמה מטרים הוא ישיג אתכם? (אם בכלל...)
  באליפות העולם לאתלטיקה 2009, שבר האלוף האולימפי יוסיין בולט, את שיא העולם בריצת 100 מטר וקבע זמן של 9.58 שניות. בולט שיפר את השיא שקבע הוא בעצמו באולימפיאדת ביג'ין 9.69 שניות. בכמה מטרים השיג בולט את עצמו?
  באימון שחיה לקראת אולימפיאדת לונדון ב-2012, שני שחיינים שוחים משני קצוות מנוגדים של הבריכה, במהירות קבועה אך שונה זה מזה. בפעם הראשונה נפגשו 30 מטר מקצה האחד של הבריכה. בפעם הבאה נפגשו 20 מטר מהקצה השני של הבריכה. מה אורכה של הבריכה ומתי יפגשו שוב?
  במרוץ אופניים בזירה סגורה במסלול הוולדרום (מלבן ושני חצאי עיגול), רוכב A מסיים סיבוב שלם כשהוא על הקו הכחול. באותו זמן סיימו סיבוב גם רוכב B אשר רכב 1 מטר פנימה מהקו הכחול ורוכב C שרכב 2 מטר מחוץ לקו הכחול. איזה מרחקים שונים רכבו רוכבי האופניים? מיהו הרוכב המהיר ביניהם ומהי מהירותו?

מקור הפעילות: "מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to  the Games,
מאמרים ופעילויות בנשוא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה.

   



   
   מקורות נוספים לפעילויות של ספורט ומתמטיקה:

מתוך הפיצוח יום פאי שמח: "מרוץ הפאי", פעילות על תכנון מסלול המירוצים באולימפיאדה.

"מתמטיקה וספורט – הספירה לאחור לאולימפיאדה 2012":
Maths and Sport: Countdown to the Games, מאמרים ופעילויות בנושא ספורט ומתמטיקה מאת אוניברסיטת קיימבריג', אנגליה.

מתמטיקה וספורטMath and sport, פרק מתוך הספר The Mathematical Collage, אשר בא להמחיש את הקשר של מתמטיקה לחיי היום יום.

מתמטיקה וספורט – אוסף פעילויות, פוסטרים ומאמרים מתוך חודש המודעות המתמטית 2010 Mathematics Awareness Month, .

על הדגל האולימפי – פעילות בהסתברות וקומבינטוריקה ועוד, מאת מחוז תל אביב

על הלפיד האולימפי – אוסף פעילויות על מסלול הלפיד וענפי הספורט השונים באולימפיאדה, מאת מחוז תל אביב

?Can Mathematics Help Usain Bolt Run Faster – כתבה ב- Science Daily, הצעות מתמטיות לאצן האולימפי כיצד לשפר את שיאי העולם שקבע.

Math in Basketball – פעילות אינטראקטיבית מלווה בסרט וידאו המסביר כיצד ניתן לתכנן את הקליעה המושלמת לסל בעזרת המתמטיקה.

 
פריסות אחרות
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
פריסות אחרות
 
   
1. היכן מסתתרת הקוביה?
  
א. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני מלבנים. רק מחלקן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות? http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/Other_Layouts/other_layouts1.png
 
ב. כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות מחמישה ריבועים ושני משולשים. רק מחלק ן ניתן לקפל לפי הקווים המקווקווים, ולבנות קובייה 1x1x1, ואילו מחלק מהצורות לא ניתן לבנות קובייה. התוכלו לזהות את הקוביות?  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/Other_Layouts/other_layouts2.png
   
 2. זוג מנסרות משולשות?
 
כל אחת מהצורות A-H הבאות מורכבות משלושה ריבועים ושני משולשים שווה צלעות אשר ניתן לקפלן לפי הקווים המקווקווים, ולבנות מנסרה משולשת.
מצאו את זוג המנסרות המשולשות אשר יתנו מנסרה באותן צבעים בדיוק, כפי שמתוארת במרכז.
התוכלו לזהות את השתיים?
 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/Other_Layouts/other_layouts3.png
 
 מקור: http://www.puzzles.com/
 


מקורות נוספים:

משימות אוריינות- פיאונים: בין המשימות: פריסה של קובייה ותיבה, בניית מבנים מקוביות ועוד.

פעילות אינטראקטיבית לגילוי 11 הפריסות של הקובייה, מאת illuminations, NCTM

שחקו בפריסה של קובייה הונגרית – NRICH

פיצוחים בנושא גיאומטרית המרחב

 
פירמידות המספרים
 

פירמידות המספרים    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-9.png 

חקירה אינטראקטיבית של החוקיות העומדת מאחורי משולש מספרים. פעילות זו מתאימה לשילוב בלימוד האלגברה החל מכיתות ז'.

תגובות (0)

    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p1.png

 


תגים:  אלגברה סדרות חוקיות משחק יישום דינאמי
 
פירמידות המספרים
 

פירמידות המספרים    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-9.png 

חקירה אינטראקטיבית של החוקיות העומדת מאחורי משולש מספרים. פעילות זו מתאימה לשילוב בלימוד האלגברה החל מכיתות ז'.

תגובות (0)

    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p1.png

 

 
אוסף קישורים בנושא פסח
 

אוסף קישורים בנושא פסח     

מתמטיקה בימי הפרעונים – עטרה שריקי, קשר ח"ם
מבט על הפירמידה ועל הספינקס – מרכז מורים ארצי יסודי, אוניברסיטת חיפה
פעילויות לפסח של מתמטיקה משולבת - מכון וייצמן, פעילויות לפי כיתות ורמות.
שטחים בריבוע – פיצוח
אוסף פעילויות וקישורים לפסח - מאת המרכז היסודי
שעשועים עם פירמידות מספרים – סרטון ב-YouTube

 

תגובות (0)

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/passover.png
 

 

 
פריסות אחרות
 

פריסות אחרות       http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-10.png 

הפיצוח עוסק בפריסות לא שגרתיות של הקוביה ושל מנסרה משולשת. פיצוח צבעוני ומהנה לפיתוח החשיבה המרחבית.

 

תגובות (0)

    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/Other_Layouts/other_layouts2.png

 


תגים:  הנדסת המרחב קוביה מנסרה פרישה ראיה מרחבית
 
פריסות אחרות
 

פריסות אחרות       http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-10.png 

הפיצוח עוסק בפריסות לא שגרתיות של הקוביה ושל מנסרה משולשת. פיצוח צבעוני ומהנה לפיתוח החשיבה המרחבית.

 

תגובות (0)

    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/Other_Layouts/other_layouts2.png

 


תגים:  הנדסת המרחב קוביה מנסרה פרישה ראיה מרחבית
 
פירמידות המספרים
 

פירמידות המספרים    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-9.png 

חקירה אינטראקטיבית של החוקיות העומדת מאחורי משולש מספרים. פעילות זו מתאימה לשילוב בלימוד האלגברה החל מכיתות ז'.

תגובות (0)

    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p1.png

 


תגים:  אלגברה סדרות חוקיות משחק יישום דינאמי
 
תרגיל חשיבה גיאומטרי
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
תרגיל חשיבה גיאומטרי

תרגיל חשיבה גיאומטרי

כתב: פרופ' עמוס ארליך

 
   

החללית שלנו נחתה על כוכב-לכת מרוחק ולהפתעתנו נוכחנו שנחתנו במגרש משחקים של בית ספר. נכנסנו לכתה ונוכחנו שהם מדברים עברית ונמצאים בתחילת לימוד הגיאומטריה, אך נראה שהנחות היסוד שלהם (האכסיומות) שונות מן המקובל אצלנו.

על הלוח שלהם כתוב:

"הנחת יסוד ב: סכום הזויות בכל מרובע הוא 3600"

 המורה מבקש מן התלמידים להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא 1800.  

תלמיד א: נצרף למשולש שלנו משולש נוסף, צירוף הזויות של שני המשולשים נותן זויות של מרובע לכן סכומן 3600, לכן לכל משולש 1800. http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/geometric_thinking_exercise/geo1.png 
תלמיד ב: ההוכחה אינה טובה. מה מבטיח לנו ש- 360 המעלות מתחלקות בשווה בין שני המשולשים?
אך נוכל להיעזר בהנחת יסוד א שלנו, האומרת שניתן להעתיק משולש ממקום למקום, לסובב אותו ולהפוך אותו, בלי שהדבר ישנה את צלעותיו וזויותיו. אם לתפקיד המשולש הנוסף ניקח עותק של המשולש הנתון נהפוך אותו ונשים אותו כבציור שמימין, אז ההוכחה תהיה בסדר.
 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/geometric_thinking_exercise/geo2.png

תלמיד א
: לא צריך את זה. כמו שהִנחנו שלכל המרובעים אותו סכום זויות כך נוכל להניח גם שלכל המשולשים אותו סכום זויות.

 
תלמיד ג: יש לי משהו יותר פשוט. נהפוך את המשולש למרובע על-ידי הוספת קדקוד על אחת הצלעות. בקדקוד זה 180o לכן בשאר הקדקודים יחד יש 180o .  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/geometric_thinking_exercise/geo3.png

המורה
: הנה באו אורחים מכדור הארץ. שלום אורחים יקרים.
התוכלו לומר לנו מי צודק ומי לא?
 
 
 

25 סטודנטים קיבלו את השאלה, התבקשו להשיב בכתב (להזדהות במספר בלבד), ואחר כך חולקו דפיהם מחדש לצורך תגובות. הסיכום שלהלן אינו מבחין בין מה שנכתב כתשובה ראשונית ובין מה שנכתב כתגובה, ובשני השלבים יכלו הסטודנטים גם לשוחח ביניהם על הענין.

כולם הסכימו שתלמיד א אינו צודק.

10 מתוך 25.2  טענו שתלמיד ב הוכיח מקרה פרטי בלבד (וחלקם זכו להתנגדות הבודקים). עוד שניים (כנראה אותו סטודנט) פסלו את תלמיד ב בטענה שהוכיח A->B במקום B->A .

17 ( מתוך אותם 25.2) טענו שתוקף הוכחתו של תלמיד ג תלוי בהגדרת מרובע.

6 מתוך אלה הזכירו במפורש שמדובר באופן שבו הוגדר מרובע באותה כתה או במקובל באותו כוכב.

18 פסלו את ההוכחה בטענה שמה שהתקבל אינו מרובע (בכמה מקרים טענו שלא יתכן שלאותה צורה גם סכום זויות 360o  וגם 180o).

11 קיבלו את ההוכחה של ג (חלקם ציינו שהיא יפה במיוחד).

4 לא הגיבו על דברי תלמיד ג או לא אמרו משהו ברור.

 

ומה דעתכם?

 
פיצוחים בנושא חנוכה

דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow פיצוחים מתמטיים לפי נושא arrow מתמטיקה בחגים ומועדים arrow פיצוחים בנושא חנוכה

פיצוחים בנושא חנוכה


פירמידות המספרים

  כככככ

  

 
 
פיצוחים בנושא חנוכה

דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow פיצוחים מתמטיים לפי נושא arrow מתמטיקה בחגים ומועדים arrow פיצוחים בנושא חנוכה

פיצוחים בנושא חנוכה


פירמידות המספרים

  כככככ

  

 
 
תרגיל חשיבה גיאומטרי
 

תרגיל חשיבה גיאומטרי

פרופ' עמוס ארליך משתף אותנו בפעילות בנושא הוכחה. תלמידים מתבטים כיצד להוכיח  שסכום הזויות במשולש הוא 1800  כשנתונה הנחת היסוד סכום הזוויות במרובע.

 

תגובות (0)

 

 

    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/geometric_thinking_exercise/geo1.png

 

 
פיצוחים בנושא פסח

דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow פיצוחים מתמטיים לפי נושא arrow מתמטיקה בחגים ומועדים arrow פיצוחים בנושא פסח

פיצוחים בנושא פסח


פירמידות המספרים    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-9.png   

 חקירה אינטראקטיבית של החוקיות העומדת מאחורי משולש מספרים. פעילות זו מתאימה לשילוב בלימוד האלגברה החל מכיתות ז'.

  
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p1.png
 

אוסף קישורים בנושא פסח

מתמטיקה בימי הפרעונים – עטרה שריקי, קשר ח"ם
מבט על הפירמידה ועל הספינקס – מרכז מורים ארצי יסודי, אוניברסיטת חיפה
פעילויות לפסח של מתמטיקה משולבת - מכון וייצמן, פעילויות לפי כיתות ורמות.
שטחים בריבוע – פיצוח
אוסף פעילויות וקישורים לפסח - מאת המרכז היסודי
שעשועים עם פירמידות מספרים – סרטון ב-YouTube

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/passover.png
 
פיצוחים בנושא פסח

דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים arrow פיצוחים מתמטיים לפי נושא arrow מתמטיקה בחגים ומועדים arrow פיצוחים בנושא פסח

פיצוחים בנושא פסח


פירמידות המספרים    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-9.png   

 חקירה אינטראקטיבית של החוקיות העומדת מאחורי משולש מספרים. פעילות זו מתאימה לשילוב בלימוד האלגברה החל מכיתות ז'.

  
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p1.png
 

אוסף קישורים בנושא פסח

מתמטיקה בימי הפרעונים – עטרה שריקי, קשר ח"ם
מבט על הפירמידה ועל הספינקס – מרכז מורים ארצי יסודי, אוניברסיטת חיפה
פעילויות לפסח של מתמטיקה משולבת - מכון וייצמן, פעילויות לפי כיתות ורמות.
שטחים בריבוע – פיצוח
אוסף פעילויות וקישורים לפסח - מאת המרכז היסודי
שעשועים עם פירמידות מספרים – סרטון ב-YouTube

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/passover.png
 
פירמידת המספרים הסודית
דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
פירמידות המספרים|
פירמידת המספרים הסודית
 
   

א. לפניכם פירמידה בה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2, 1, 4, 6
מהו הסוד של הפירמידה?
מצאו כיצד נקבעו המספרים בשאר השורות של הפירמידה.

ב. חזרו על פעולת המילוי של הפירמידה מספר פעמים כאשר אותם המספרים: 2, 1, 4 ו- 6 בתחתיתה אבל בסדר שונה.
כמה פירמידות שונות ניתן לקבל?

 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p1.png

ג. מה צריך להיות סדר המספרים בשורה התחתונה כך שבפסגה יתקבל מספר הגדול ביותר? הקטן ביותר? נסו להסביר למה בסדר זה או אחר מתקבל בפסגה מספר גדול ביותר או קטן ביותר.

ד. קחו רביעיה אחרת של מספרים שלמים (חיוביים ושליליים) וחזרו על מילוי הפירמידה. נסו לקבוע בצורה כללית מה צריך להיות הסדר בין ארבעת המספרים שבתחתית הפירמידה על מנת שבפסגתה יתקבל מספר הגדול ביותר.

ה. לפירמידה הבאה הוכנסו לשורה הראשונה המספרים: -5, 2, 3, 4. באיזה סדר הוכנסו המספרים כך שבפיסגה יתקבל המספר אפס?  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p2.png
ו. לפירמידה הבאה הוכנסו בשורה הראשונה המספרים: 2 ו-15 ועוד שני מספרים כלשהם. בראש הפירמידה התקבל המספר 48. מצאו את הקשר בין x ו-y . כמה פירמידות ניתן לקבל?  http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p3.png
 מקור: http://nrich.maths.org  
   

 פירמידת המספרים העוקבים
 

 רשמו מספר שלם כלשהו בפינה השמאלית של השורה התחתונה של הפירמידה.

המשיכו לרשום מספרים עוקבים בשלושת המקומות הנותרים בשורה הראשונה.

כל מספר בפירמידה הוא סכום של שני המספרים שמתחתיו.

 http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/number_pyramids/p4.png

א. עבור אילו מספרים יתקבל בפסגה של הפירמידה מספר 84? מספר 44?

ב. הסבירו אילו מספרים ניתן לקבל בפסגה? האם ניתן לקבל כל מספר בראש הפירמידה?

ג. באחד המשחקונים התקבל בראש הפירמידה 140. מהו המספר שממנו הותחלה הפירמידה?

ד. אם נשנה את סדר המספרים בשורה הראשונה, האם ישתנה המספר בראש הפירמידה? בדקו את השערתכם והסבירו מדוע.

ה. ערכו מחקר דומה לגבי פירמידות גדולות יותר, בעלות 5 ו- 6 שורות.


מקור: http://nrich.maths.org


קישורים  נוספים:

מתכונותיו של משולש פסקל
- שמואל אביטל

 
מתמטיקה בחגים ומועדים

דף הבית arrow  פיצוחים מתמטיים arrowפיצוחים מתמטיים לפי נושא arrowמתמטיקה בחגים ומועדים

מתמטיקה בחגים ומועדים 

 

http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/hanukkah_menorah.png

חנוכה

יום כדור הארץ
22 באפריל

יום השוויון
21 במרץ, 22 בספטמבר

http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/tiny_pi.png

יום הפאי

http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/tiny_clown.png

פורים

http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/Matzah.png

פסח

http://highmath.haifa.ac.il/images/stories/israeli_flag.png

יום העצמאות

יום האהבה


 

דף זה בהקמה ויעודכן בקרוב

 
עיגולים ומעגלים

עיגולים ומעגלים http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-12.png

בפיצוח שלש בעיות, חידות קצרות, העוסקות בהיקף ובשטח מעגל המתאימות לתלמידי כיתה ז' ומעלה. הפעם צירפנו גם פתרונות.

תגובות (0)

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/circles/circles.png
 

 

 
עיגולים ומעגלים

עיגולים ומעגלים    http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/classes_images/7-12.png 

בפיצוח שלש בעיות, חידות קצרות, העוסקות בהיקף ובשטח מעגל המתאימות לתלמידי כיתה ז' ומעלה. הפעם צירפנו גם פתרונות.

תגובות (0)

 
http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/circles/circles.png
 

 

 
עיגולים ומעגלים