דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
המבוך של גלטון | متاهة غالتون
 
 
בואו נשחק במשחק "המבוך של גלטון", או כפי שהוא מכונה גם מכונת גלטון.
המשחק מורכב מלוח של מסמרים המסודרים כמשולש ב-7 שורות. זורקים כדור מראש הלוח, הכדור עושה דרכו מלמעלה עד למטה, כך שבכל פעם פוגע במסמר וממשיך את דרכו ימינה או שמאלה באופן אקראי וכך הלאה, עד שהוא מגיע לאחד התאים בתחתית הלוח.
Inline Frames

א. באפשרותך להמר, ולבחור את התא הזוכה. הפעילו את הסימולציה והפילו כדור. (הנחיות)
האם הכדור הגיע לתא שבחרת?

הפעילו את הסימולציה 10 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת?

הפעילו 100 פעמים, כמה כדורים פגעו בתא שבחרת? (ניתן להפיל את הכדורים באופן רציף ולעצור כש-n קרוב ל-100). לאיזה תא נכנסו רוב הכדורים?

שרטטו סקיצה של גרף העמודות ואפיינו את צורתו.

הידעתם?

משחק המבוך הומצא על-ידי פרנסיס גלטון (Francis Galton, 1822-1911). גלטון היה מדען אנגלי שחקר תופעות שונות, בעיקר תופעות תורשה, באמצעות הסתברות וסטטיסטיקה. גלטון נחשב לחלוץ בתחום שנקרא ״חוכמת ההמונים״ ונודע בעקבות הסיפור על השור.. בשוק שוורים נערך משחק הימורים בו המבקרים התבקשו להעריך את משקלו של שור. להפתעתו של גלטון אף איש וגם אף לא אחד מהמומחים לא הצליח להעריך את המשקל האמיתי של השור, אך הממוצע של כל ההערכות היה קרוב מאד למשקל האמיתי. ממוצע ההימורים של ההדיוטות בכיכר היה 542.9 קילוגרם. משקלו האמיתי של השור היה 543.4 קילוגרם! ב 2012 – שיחזר את הניסוי, מומחה ישראלי לחכמת ההמונים, בהרצאת TED והביא לבימה שור אמיתי...

צפו בכתבה במאקו על חכמת ההמונים ופתרון משברים עם ליאור צורף.

ב. נעם בחר בתא A2 כמנצח. תארו מסלול אפשרי שבו הכדור נופל ל- A2.

רשמו את כל המסלולים ל- A2, למשל LLRRLLL. כמה מסלולים אפשריים לתא זה?

שימו לב כמה פעמים פנה הכדור ימינה, וכמה פעמים פנה שמאלה בכל אחד מהמסלולים האפשריים לתא זה. האם קיים תא נוסף במבוך שיש לו אותו מספר מסלולים?  

ג. השלימו לאיזה תא יגיע הכדור אם מסלולו יהיה:  

ד. הפעילו את הסימולציה 500 פעמים, והשלימו את טבלת השכיחויות על פי הניסוי: 

ה. שרטטו סקיצה לגרף העמודות ואפיינו את צורתו.
 
 "זה החוק העליון של חוסר ההגיון. בכל פעם שיש כמות גדולה וכאוטית של נתונים, אתה מצעיד אותם לפי סדר הגודל שלהם ואז מופיעה, באופן מפתיע ויפהפה, צורה של סדר שהייתה סמויה לאורך כל הדרך"  Fransis Galton
 
התפלגות נורמלית, הנקראת גם התפלגות גאוס או עקומת הפעמון, הנה בלי ספק צורת ההתפלגות השימושית ביותר בכל תחומי המדע, החל מסטטיסטיקה, דרך ביולוגיה ועד מדעי החברה. בהתפלגות זו ניתן להשתמש לתיאור הפילוג של תוצאות ניסוי, התפלגות ממוצע ציונים בכיתה, התפלגות מנת המשכל במדגם אוכלוסייה, התפלגות מחיר של מניה ועוד ועוד . קראו על עקומת הפעמון במכון דוידסון ואצל הידען
 
   
כיצד נחשב את ההסתברויות השונות של הכדור הנופל בלוח גלטון?
א. נתבונן בלוח גלטון מוקטן , בעל שתי שורות בלבד. ברור שלכדור הנופל יש שתי אפשרויות בלבד בדרכו, שמאלה (L) או ימינה (R). מהי ההסתברות שיגיע לתא השמאלי?

ב. נוסיף שורה ללוח גלטון.

השלימו את תיאור המסלולים לכל תא.

בכמה מסלולים יכול הכדור להגיע לתא האמצעי?

מה מספר המסלולים האפשרי להגיע לכל אחד מהתאים בשורה השנייה?

מה ההסתברות שהכדור יפול לתא האמצעי?  

ג. מתואר עץ המתאים לכדור הנופל בלוח גלטון.

ד. רשמו על העץ, בכל תא את כל המסלולים של הכדור המגיע אליו. (L שמאל, R ימין)

ה. רשמו על העץ, בכל תא את מספר המסלולים האפשריים להגיע אליו.

ו. רשמו על העץ, בכל ענף את ההסתברות להגיע אליו.

המבוך של גלטון הוצב בשיפוע. כיצד ישתנה המשחק בו?

כיצד ישתנו ההסתברויות אם הסיכוי של הכדור ליפול ימינה גדול יותר מהסיכוי ליפול שמאלה....

התנסו במשחק בעזרת הסימולציה.

בחרו בלוח של 7 שורות ושנו את P.

א. כיצד ישתנה גרף העמודות? במה הוא שונה מגרף הפעמון שהכרנו קודם?

ב. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A2, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6?

ג. מה ההסתברות שכדור יפול לתא A1, אם ההסתברות של כדור לפול שמאלה היא 0.6? ולתא A6? פרטו כיצד חישבתם.

ד. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של 7 שורות.

ה. רשמו נוסחה להסתברות שכדור יפול בתא k בלוח גלטון של n שורות.  

הידעתם?

חוק המספרים הגדולים של ברנולי אומר שאם חוזרים על ניסוי אקראי, כמו נפילת כדור בלוח גלטון, מספר רב של פעמים, השכיחות היחסית הנצפית בניסוי קרובה להסתברות התיאורטית. חוק המספרים הגדולים התגלה במאה ה-18 על ידי המתמטיקאי השוויצרי, ברנולי, והוא שינה את החשיבה על הסתברות, מקביעה של אירוע בדיד לחיזוי של התנהגות לטווח ארוך. ברנולי העיד שזהו חוק טריוויאלי, כל כך פשוט כך שכל הדיוט מכיר. ולמרות זאת לקח לו כ-20 שנה להוכיח את המשפט באופן מתמטי.

קראו עוד על חוק המספרים הגדולים של ברנולי, מאמר בבלוג נסיכת המדעים.  

סרטונים


מכאוס לסדר במכונת גלטון

ריקוד המזל – סימולציה של מכונת גלטון

לשחק עם לוח גלטון עוד הפעלה של נפילת הכדורים.

שני סרטוני הוראה של התפלגות בינומיאלית בעזרת כדור הנופל בלוח גלטון.

 

קישורים

לוח גלטון – יחידה אינטראקטיבית המלווה צעד אחר צעד את חישובי הסתברויות של נפילת כדור בלוח גלטון, התרשמות מגרף השכיחויות שבמספרים גדולים מתאר התפגות בינומית, עיסוק במשפט המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי.

יחידה מתוקשבת בנושא הסתברות למורים, הכוללת סרטים ויישומים אינטראקטיביים, ובה רקע על מדע ההסתברות, סקירה היסטורית, בחינת המשפט של המספרים הגדולים ומשפט הגבול המרכזי, חקר של משחקי מזל ויישומיהם והרחבה על מודל הסתברותי להבנת פקקי תנועה כמו גם שוק המניות. ביחידה חקר המשחק המבוך של גלטון כהמחשה של הנושאים הללו. מומלץ לצפות בהרצאה המסכמת.

יחידה מס 8: משולש פסקל, מצויינות ויצמן כוללת שתי חידות בשימוש עם מכונת גלטון.

יופיה של המתמטיקה – הסתברות, מצגת מאת גיל קלעי והרצאה מצולמת.

מוצג לא נורמלי (או בעצם כן נורמלי) – פוסט מאת "אבא יש רק אחד", תיאור חוויתי במוזיאון המדע בבוסטון בו מוצג לוח גלטון.

משחק הפינבול, מתוך סביבת הלימוד על "מוזיאון הכאוס הוירטואלי", של סנונית. חומר להעשרה.

יישום דינאמי של לוח גלטון מאת PHET

יישום דינאמי ללוח גלטון מאת math is fun.   

משולש פסקל בויקיפדיה
 
 
 


Home2
פיצוחים
home3


המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי - הפרויקט מבוצע עפ"י מכרז 6/1.07 עבור האגף לתכנון ולפיתוח תוכניות לימודים, המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך.

כל הזכויות שמורות לאגף המיחשוב, אוניברסיטת חיפה | עיצוב וביצוע: שני זילברמן, אגף המחשוב