דף הבית arrow פיצוחים מתמטיים
תקציר
היקף כדור הארץ|פתרונות לשאלות הרחבה 
مشروع عالمي لقياس محيط الكرة الارضية|
 פרוייקט עולמי למדידת היקף כדור הארץ

רקע על הפרוייקט

כיצד חישב אֶרַטוֹסתֶנֶס את היקף כדור הארץ?

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם.

שאלות הרחבה

קישורים

Sample Image
  מתוך כריכת הספר:
The Librarian Who
Measured the Earth
Kathryn Lasky, Kevin Hawkes
   

לפני כ-2200 שנה הצליח אֶרַטוֹסתֶנֶס (Eratosthenes ), מתמטיקאי, גיאוגרף ואסטרונום יווני, למדוד את היקף כדור-הארץ באמצעים פשוטים ביותר.
כיום, מדי שנה, משתפות פעולה כיתות מכל רחבי העולם במדידה מחודשת של ההיקף והרדיוס של כדור הארץ באמצעות שיטתו הגאונית של המלומד היווני. המדידה נערכת פעמיים בשנה באביב ובסתיו, בימים בהם מתחלפות עונות השנה.
השיטה מתבססת על מדידת אורך הצל של מוט במספר מקומות בקווי רוחב שונים. ככל שקווי הרוחב יהיו שונים וככל שיצטרפו ליוזמה יותר מודדים כן יגדל הדיוק של המדידה.

 

מורים ומחנכים המעוניינים להצטרף ליוזמה ולשתף פעולה עם בתי ספר בחו"ל מוזמנים להירשם באתר: http://www.youth.net/eratosthenes 

 

כיצד חישב אֶרַטוֹסתֶנֶס את היקף כדור הארץ?

הוא ידע שצורתו של העולם היא צורת כדור. (קראו עוד על איך ידעו שהארץ היא כדור?)

רוב חייו של אֶרַטוֹסתֶנֶס עברו באלכסנדריה שם היה ספרן ראשי במוזיאון המדע והאומנות ושמש מורה לבנו של תלמי המלך. הוא הופתע לקרוא בספרייה הגדולה של אלכסנדריה, כי בעיר המצרית סיינה (היום אסוואן) ישנה באר עמוקה, בה פעמיים בשנה, בשעת צהרי ימי השוויון (הימים בהם היום והלילה  שווים באורכם), ניתן לראות את השתקפות השמש במלואה ללא כל  צל.

הוא הסיק שבשעה זו השמש מכה ישירות אנכית, כלומר השמש נמצאת מעל בדיוק במרכז השמיים, בזניט. הוא ידע שבאותה שעה ממש השמש באלכסנדריה כן יוצרת צל. השמש מספיק רחוקה לכן הניח שקרני השמש מקבילות והעולם עגול הוא החליט לערוך מדידות.
הוא חיכה לאותו יום מיוחד, יום השוויון בו הקיץ הופך לחורף בכדי לבדוק את מקום השמש בעיר
מגוריו, אלכסנדריה ומכאן להסיק על היקף כדור הארץ.

הוא העמיד באלכסנדריה עמוד אנכי ומדד את הזווית של הצל שהטיל העמוד בדיוק באותו זמן שבו עמוד בסיינה לא הטיל כל צל.
הוא מצא כי הזווית של הצל שנוצר היא  ממעגל שלם (כ-7 מעלות).
אֶרַטוֹסתֶנֶס ידע מגיאומטריה שגודל זווית הצל שמדד שווה לזווית המרכזית של כדה"א בין סיינה לאלכסנדריה. (מדוע?)
אם מניחים שאלכסנדריה ניצבת במדויק מצפון לאסואן, נובע מן המדידות האלה כי המרחק מסיינה לאלכסנדריה הוא  מהיקפו של כדור הארץ (במעגל העובר דרך מרכז הכדור, ודרך אסואן ואלכסנדריה).

אֶרַטוֹסתֶנֶס שלח שליחים כדי למדוד את המרחק בין סיינה לאלכסנדריה ומצא שהוא 5000 סטאדיות (סטאדיה היא מידה עתיקה בה השתמשו היוונים). הוא הכפיל מרחק זה ב-50 בכדי למצוא את היקף כדור הארץ. הערכתו הייתה 250,000 סטאדיות (שהן כ- 46,250 ק"מ). הערכתו די קרובה להערכות המודרניות למרות שלא השתמש בכלים מורכבים ומודרניים ושנים רבות נעזרו בה ככלי חשוב.

Sample Image

אֶרַטוֹסתֶנֶס השתמש למעשה בנוסחה:

d=   המרחק בין סיינה לאלכסנדריה
A= ע 360 מעלות בהנחה שכדור הארץ עגול
a=   זווית הצל שיוצר מקל אנכי
D=   היקף כדור הארץ
 Sample Image
הידעתם ? Sample Image

יחידת המטר נקבעה באופן שרירותי בתקופת המהפכה הצרפתית.
היא נקבעה כחלק העשרה מיליון של המרחק בין קו המשווה לקוטבי כדור הארץ.
כלומר נקבע ש-10,000 ק"מ הם רבע מהיקף כדור הארץ  (הקשת המתאימה לזווית מרכזית של ˚90). מאחר והמרחק המדויק לא היה ידוע אז , וגם אינו ידוע כיום , אלא עם שיפור המדידות הוא הולך ונעשה מדויק יותר , הרי שהיה צורך לשמר את המטר התקני המקורי - מרחק בין שני פסים המסומנים על מוט העשוי מפלטינום ואירידיום, והוא מצוי במוזיאון המדידות בסבר ליד פאריס.
מ-1983 הוגדר המטר כמרחק אותו עוברת קרן אור בווקוום בפרק זמן של  1/299792458 שניה
.     
                                               Sample Image
                                                             


   

סרטים המסבירים ומדגימים את השיטה:

Eratosthene Sagan

צפו בסרט יפהפה של ה- BBC המסביר ומדגים את התגלית המפליאה של אֶרַטוֹסתֶנֶס.
אל תחמיצו את ההסבר מאיר העיניים  "כיצד יתכן שבאותה שעה בדיוק יש בשני מקומות שונים בעולם אורך צל שונה?"

 

http://highmath.haifa.ac.il/images/data2/pitzuah/Eratosthene.png
The World is Round

סרט קצרצר המסביר בבהירות את המסקנה המתבקשת של אֶרַטוֹסתֶנֶס כי העולם עגול. בסרט הדגמה יפה על חישובי הזוויות הכלולות בשיטה.

Sample Image

 Sample Image

כיצד נשחזר את המדידה של אֶרַטוֹסתֶנֶס?

בכדי שנמדוד היום את הקף כדור הארץ אנחנו נשתמש באותם שיטות ועקרונות בהם השתמש אֶרַטוֹסתֶנֶס לפני יותר מ-2000 שנה.ראשית נבצע את המדידה ביום השוויון equinox)), בו היום והלילה שווים באורכם, החל ב-22 בספטמבר, אז מסתיים הקיץ ומתחיל הסתיו. בכדי לוודא שקרני השמש אנכיות מעל קוו המשווה, בדומה לבאר של סיינה, בצעו את הניסוי בחצות היום הזה.
מצאו את המרחק בין מקום המדידה שלכם לבין קו המשווה בעזרת האטלס או מקורות אחרים.
כעת תוכלו לחשב את היקף כדור הארץ.

כל מה שאתם צריכים זה מוט, מקל התקוע אנכית באדמה ומד זווית.
ב-22 בספטמבר, בחצות היום, כאשר השמש  גבוהה בשמיים מדדו את הזווית של הצל שיוצר המוט.

תוכלו למדוד את הזווית בעזרת מד זווית, אך נוח לחשבה בעזרת טריגונומטריה:
 Sample Image       Sample Image
טיפים:
  • 1. השתמשו בפלס בכדי לוודא שהקרקע ישרה.
  • 2. השתמשו בחוט הקשור למוט ובקצהו חברו אבן.
  • 3. בכדי לדייק מצאו את זמן "חצות היום", הזמן בו השמש נמצאת בזניט.
    תוכלו להעזר באתר:
    http://www.jerusalem.muni.il/jer_main/luachaloneheb/cal.asp
  • 4. בצעו כמה שיותר מדידות בכדי למצוא קירוב טוב יותר.

Sample Image

שתפו את תוצאותיכם עם אחרים ברחבי העולם:

Sample Image

שאלות הרחבה:
  • 1. מהו רדיוס כדור הארץ?
  • 2. מהם גורמי השגיאה המשמעותיים במדידה?
  • 3. אם כדור הארץ היה שטוח כיצד הניסוי היה מושפע מכך?
    4. למזלו של אֶרַטוֹסתֶנֶס הוא הכיר מקום בו השמש נמצאת בזניט, בדיוק ב- 90˚ מעל קו המשווה בחצות היום. האם תוכלו לבצע את הניסוי ללא מידע זה? האם ניתן לבצע את המדידות משני מקומות כלשהם?
    רמז- תוכלו להעזר באיור הבא:
 
Sample Image
5. קצרצרים... 2 חידות על חתול, ספורטאי וכדור הארץ. 
 

Sample Image 

קישורים:

אֶרַטוֹסתֶנֶס מקירנה- מאמר בגלילאו על האיש ותגליותיו.
 " אֵרָטוֹסְתֶנֶּס תמיד ייזכר כאדם הראשון שהצליח לְחַשֵּׁב אֶת הֶיקֵּפוֹ של כדור הארץ."

מדע כדור הארץ : מהו היקף כדור הארץ? -  מאמר מאת צביה לוטן.
שם מצטטים את אֶרַטוֹסתֶנֶס באומרו "מצפייה בכוכבים אנו למדים גם שהארץ לא די שהיא כדורית אלא שאין מידתה גדולה..."

Real World Learning Objectsפעילות מתוקשבת (באנגלית) בה הסברים מעמיקים על שיטתו של אֶרַטוֹסתֶנֶס וביצוע הניסוי במצבים שונים. כולל אפלטים ואיורים גרפיים.

The Noon Day Project-  פרוייקט עולמי נוסף למדידת הקף כדור הארץ, מלווה בהסברים ובסרטי וידאו וכמו גם תמונות רבות של משתתפים בניסוי.

The library of Eratosthenes- עוד פרוייקט עולמי נוסף בו משתתפים תלמידים מרחבי העולם. האתר מנוהל בשפות רבות (לא בעברית..). שם תוכלו למצוא סיפורי ניסוי בווידאו ובתמונות.

 Sample Image

 


Home2
פיצוחים
home3


המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי - הפרויקט מבוצע עפ"י מכרז 6/1.07 עבור האגף לתכנון ולפיתוח תוכניות לימודים, המזכירות הפדגוגית, משרד החינוך.

כל הזכויות שמורות לאגף המיחשוב, אוניברסיטת חיפה | עיצוב וביצוע: שני זילברמן, אגף המחשוב